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第一节机械振动(2)对称规律①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系、另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．②振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如tBC＝tB′C′，如图13－1－1所示．3．简谐运动的图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图13－1－2甲所示．(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图13－1－2乙所示．4．简谐运动的两种模型【应用提示】(1)简谐运动具有往复性，位移相同时回复力、加速度、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向．(2)由于简谐运动具有周期性，因此涉及简谐运动时往往出现多解问题．分析时应特别注意，物体在某一位置时，位移是确定的，而速度方向不确定，由于周期性，时间也不确定．(2011·皖南摸底)如图13－1－3所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：(1)写出该振子简谐运动的表达式．(2)在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？【自主解答】(1)由振动图象可得：A＝5cm，T＝4s，φ＝0则ω＝2πT＝π2rad/s故该振子做简谐运动的表达式为：x＝5sinπ2tcm.(2)由图可知，在t＝2s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．(3)振子经过一个周期位移为零，路程为5×4cm＝20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25cm＝500cm＝5m.【答案】(1)x＝5sinπ2tcm(2)见解析(3)05m1.受迫振动的振动特征(1)频率特征振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关．(2)振幅特征①驱动力的频率与系统的固有频率相差越大时，振幅越小．②驱动力的频率与系统的固有频率相差越小时，振幅越大．③驱动力的频率与系统的固有频率相等时，振幅最大．2．共振(2009·宁夏高考)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是A．当f＜f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小B．当f＞f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f【自主解答】由受迫振动的知识可知，驱动力的频率与振动系统的固有频率相差越小，振动系统的振幅越大，相差越大，振动系统的振幅越小，A错误，B正确；振动系统的振动稳定后，振动的频率等于驱动力的频率，与振动系统的固有频率无关，C错误，D正确．【答案】BD1.实验原理单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，通过实验方法测出若干组摆长l和周期T，即可探究单摆周期与摆长的关系．2．实验步骤(1)组成单摆．实验器材有：带有铁夹的铁架台，中心有孔的小钢球，约1m长的细线．在细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结，将细线穿过小钢球上的小孔，制成一个单摆；将单摆固定在带铁夹的铁架台上，使小钢球自由下垂．(2)测摆长．实验器材有：毫米刻度尺和游标卡尺．让摆球处于自由下垂状态时，用刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测出摆球的直径(2r)，则摆长为l＝l线＋r.(3)测周期．实验仪器有：秒表．把摆球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，使单摆在竖直面内摆动，测量其完成全振动30次(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，即为周期T.(4)重复(2)、(3)，得到若干组l、T的数据．3．数据处理(1)可试探画出l－T、l－T2、l－T等图线．(2)以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l－T2图象是一条过原点的直线，说明l与T2成正比，即l∝T2，如图12－1－4所示．(3)由单摆的周期公式T＝2πlg可得l＝g4π2T2，由此可知l－T2图象中直线的斜率k＝g4T2，即g＝4π2k，而k＝ΔlΔT2，因此用单摆可以测重力加速度．某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3cm左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是：A．石块用细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长C．将石块拉开一个大约α＝30°的角度，然后由静止释放D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T＝t/30得出周期E．改变OM间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L和TF．求出多次实验中测得的L和T的平均值作计算时使用的数据，代入公式g＝()2L求出重力加速度g.(1)你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？为什么？(2)该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用何种方法可以解决摆长无法准确测量的困难？【标准解答】(1)实验步骤中有重大错误的是：B：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长C：最大偏角不能超过5°D：应在摆球经过平衡位置时计时F：应该用各组的L、T求出各组的g后，再取平均值(2)用OM作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点M到石块重心的距离，故摆长L偏小．根据T＝2πLg，g＝4π2LT2.故测量值比真实值偏小．可以用改变摆长的方法．如T＝2πLg，T′＝2πL＋Δlg，测出Δl.则g＝4π2ΔlT′2－T2.单摆周期公式的应用(1)一个单摆挂在运动的电梯中，发现单摆的周期变为电梯静止时周期的2倍，则电梯在这段时间内可能做________运动，其加速度的大小a＝________.(2)在某地，摆长为l1的摆钟A在某一段时间内快了Δt，而另一摆长为l2的摆钟B在同一段时间内慢了Δt，那么，在该地走时准确的摆钟的摆长应为多少？【标准解答】(1)电梯静止时，单摆周期为T1＝2πLg①摆长未变，而周期变化，说明电梯做加速度不为零的运动，若在这段时间内，周期稳定，则做匀变速直线运动，此时电梯中的单摆周期为T2＝2πLg′②而由题意T2＝2T1③由①②③式可解得g′＝g/4.设小球在电梯中自由下落，其加速度为g，方向竖直向下，而它对悬点的加速度为g′＝g/4，小于g.取向下为正方向，则g′＋a＝g④由④式可得悬点(即电梯)的加速度a＝3g/4，方向向下．所以电梯可能是匀加速下降或匀减速上升．(2)设在该地走时准确的摆钟的摆长为l，则周期T＝2πlg，l1摆周期T1＝2πl1g，l2摆周期T2＝2πl2g，再设某一段时间为t，据题意有tT1－tT＝tT－tT2.联立以上各式得l＝4l1l2l1＋l22.1.(2010·沈阳模拟)劲度系数为20N/cm的弹簧振子的振动图象如图12－1－12所示，在图中A点对应的时刻()A．振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴的负方向B．振子的速度方向指向x轴的正方向C．在0～4s内振子做了1.75次全振动D．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0【解析】由图可知A在t轴上方，位移x＝0.25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知，过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0.5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.50cm＝4cm，故选项D错误．综上所述，该题的正确选项为B.【答案】B2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则()A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则Δt一定等于T2的整数倍C．若Δt＝T2，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等D．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等，速度也一定相等【解析】做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等，方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误．振子经过同一位置的不同时刻，振子的速度大小相等，方向相反，而Δt并不一定等于T2的整数倍，选项B错误．相差T2的两个时刻，弹簧的长度可能相等，如振子从平衡位置开始振动，再回到平衡位置；也可能弹簧的长度不相等，如从弹簧伸长到最长至弹簧压缩到最短，选项C错误．相差T的两个时刻，振子经一个周期，其位移、加速度和速度均回到原来状态，选项D正确．【答案】D3．在实验室可以做“声波碎杯”的实验．用手指轻弹一只酒杯，可以听到清脆的声音，用测频率仪测得这声音的频率为500Hz.将这只酒杯放在两只大功率的声波发生器之间，操作人员通过调整其发生的声波，就能使酒杯碎掉．下列说法正确的是()A．操作人员一定是把声波发生器的功率调到很大B．操作人员可能是使声波发生器发出了频率很高的超声波C．操作人员一定是同时增大声波发生器发出声波的频率和功率D．操作人员只需将声波发生器发出的声波频率调到500Hz【解析】“声波碎杯”是利用酒杯在声波的作用下发生共振，从而使酒杯破碎，声波发生器的功率不需要过大，A错误；要使酒杯发生共振，必须使声波的频率等于酒杯的固有频率，从题意可以知道酒杯的固有频率为500Hz，所以只需将声波发生器发出的声波频率调到500Hz，B、C错误，D正确．【答案】D4．(2010·南通模拟)(1)蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠感觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到丝网的振动，当丝网的振动频率为f＝200Hz左右时，网的振幅最大．对于落在网上的昆虫，当其翅膀振动的频率为__Hz左右时，蜘蛛能立即捕捉到它．(2)如果该丝网共振时的最大振幅为0.5cm，试定性画出其共振曲线．【解析】(1)当驱动力的频率等于物体的固有频率时物体发生共振，物体的振幅最大，故昆虫翅膀的振动频率应为200Hz左右．(2)共振曲线如图所示．【答案】(1)200(2)见解析图5．(2010·泉州模拟)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50s时，振子速度第二次变为－v.(1)求弹簧振子振动周期T.(2)若B、C之间的距离为25cm，求振子在4.00s内通过的路程．(3)若B、C之间的距离为25cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象．【解析】(1)画出弹簧振子简谐运动的示意图如图所示由对称性可得：T＝0.50×2s＝1.00s.(2)若B、C之间距离为25cm，则振幅A＝12×25cm＝12.5cm振子4.00s内通过的路程s＝4×4×12.5cm＝200cm.(3)根据x＝Asinωt，A＝12.5cm，ω＝2πT＝2π.得x＝12.5sin2πtcm.振动图象如图所示．【答案】(1)1.00s(2)200cm(3)x＝12.5sin2πtcm图象见解析6．(2010·福州模拟)有一个单摆、其摆长l＝1.02m，摆球质量m＝0.10kg，从与竖直方向成θ＝4°的位置无初速度开始运动，已知振动的次数n＝30次，用了时间t＝60.8s，问：(取sin4°＝0.0698，cos4°＝0.9976，π＝3.14)(1)重力加速度g为多大？(2)摆球的最大回复力为多大？(3)如果将这一单摆改成秒摆，摆长