2013中考数学二轮复习专题突破――方案设计题

•方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题，问题情境包含实际问题情景和数学问题情境，设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经济方案问题等，它一般包括“问题情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程，三种设计目标所建立的数学模型如下：•1．图形设计方案题：在实际生活的背景下，不只是传统的简单作图，而是运用轴对称图形和中心对称图形的性质，借助某些规则的图形(如等腰三角形、菱形、矩形、圆)的性质，通过对图形进行分解与组合进行创新设计．•专题突破四┃方案设计题•2.测量方案设计题：利用全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等设计一个可行的方案，对某一物体的长度、高度、宽度等进行测量计算．•3．经济方案设计题：提供或寻求到多种解决问题的方案，并考虑到实施中的经济因素，选择最佳(可行)方案，主要建立方程模型、函数模型、概率模型以解决问题．•方案设计题贴近生活，具有较强的操作性和实践性，考查学生的动手实践能力和创新设计才能，解决问题时要慎于思考，并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案.专题突破四┃方案设计题•例1[2011·宜宾]如图X4－1，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：•(1)指出需要测量的数据•(用字母表示，并在图中标出)；•(2)用测出的数据写出求•距离MN的步骤．►类型之一测量方案设计问题图X4－1专题突破四┃方案设计题解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理即可，答案列举如下：(1)如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离d，连结AM，BM，过M点作MN⊥AN，垂足为N.专题突破四┃方案设计题(2)第一步骤：在Rt△AMN中，tanα＝MNAN，∴AN＝MNtanα；第二步骤：在Rt△BMN中，tanβ＝MNBN，∴BN＝MNtanβ，由AN＝d＋BN，解得MN＝d·tanα·tanβtanβ－tanα.专题突破四┃方案设计题•这是一道测量方案设计的题目，它是在限定条件的情况下，测量MN之间的距离，对测量方法、测量数据及MN的计算表达式均无限制，因此解题的方法较多.构造适当的直角三角形是解题的关键所在.专题突破四┃方案设计题•例2在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．•(1)在图甲中画一个•平行四边形，使它的周•长是整数；•(2)在图乙中画一个•平行四边形，使它的周长•不是整数．►类型之二图形设计方案问题图X4－2专题突破四┃方案设计题解：专题突破四┃方案设计题•例3(1)计算：如图X4－3①，直径为a的三个等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；•(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和hn′(用含n、a的代数式表示)；图X4－3专题突破四┃方案设计题•(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(≈1.73)专题突破四┃方案设计题解：(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，∴O1O2＝O2O3＝O1O3＝a.又∵O2A＝O3A，∴O1A⊥O2O3，∴O1A＝a2－14a2＝32a.(2)hn＝na，h′n＝32n－1a＋a，专题突破四┃方案设计题(3)方案二装运钢管最多．即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n，可得32n－1×0.1＋0.1≤3.1，解得n≤35.68.∵n为正整数，∴n＝35.钢管放置的最多根数为：31×18＋30×17＝1068(根)．专题突破四┃方案设计题•例4[2012·南充]学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．•(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元？•(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总组成费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．►类型之三经济方案设计题专题突破四┃方案设计题•解：(1)设租用一辆大车的租车费是x元，租用一辆小车的租车费是y元，•依题意，•答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元．专题突破四┃方案设计题•(2)240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6.故租车总数为6辆，设大车辆数是x辆，则租小车(6－x)辆．•得：解得4≤x≤5.••∵x是正整数，•∴x＝4或5.•于是有两种租车方案，方案1：大车4辆小车2辆总租车费用2200元，方案2：大车5辆小车1辆总租车费用2300元，可见最省钱的是方案1.专题突破四┃方案设计题•例5[2012·青岛]在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图X4－4所示：•(1)试判断y与x之间的函数关系，•并求出函数关系式；•►类型之四利用函数进行方案设计图X4－4专题突破四┃方案设计题•(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；•(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．专题突破四┃方案设计题•解：(1)y是x的一次函数，设所求函数关系式为y＝kx＋b.•由于该函数的图象过点(10，300)，(12，240)，••••∴y＝－30x＋600.•当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，•即点(14，180)，(16，120)均在函数y＝－30x＋600图象上．•∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600.专题突破四┃方案设计题(2)w＝(x－6)(－30x＋600)＝－30x2＋780x－3600.即w与x之间的函数关系式为w＝－30x2＋780x－3600.(3)由题意得6(－30x＋600)≤900，解得x≥15.w＝－30x2＋780x－3600图象的对称轴为x＝－7802×（－30）＝13.∵a＝－300，∴抛物线开口向下，当x≥13时，w随x增大而减小．∴当x＝15时，w最大＝1350.即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．专题突破四┃方案设计题•在实际问题或数学问题中建立方程、不等式或函数模型后，利用不等式(组)、函数的最大(小)值可求最大利润、最大面积、最佳方案等问题.专题突破四┃方案设计题