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分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想．分类思想的实质是按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．引起分类讨论的主要原因：(1)概念本身是分类定义的(如绝对值)；(2)某些公式、定理、性质、法则是有条件和范围限制的；(3)题目条件和结论的不唯一；(4)含有字母系数的问题，需对该字母的不同取值范围进行讨论；(5)图形的位置和形状不确定．专题突破八┃分类讨论题分类思想的解题策略：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(选择分类标准，理清分类界限，不重复，不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并作出结论.专题突破八┃分类讨论题例1[2011·襄阳]已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A.k＜4B．k≤4C.k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3►类型之一根据概念、定义进行分类讨论B专题突破八┃分类讨论题[解析]当k＝3时，该函数是一次函数y＝2x＋1，此时图象与x轴有一个交点(－12，0)；当k≠3时，该函数是二次函数，要使该函数图象与x轴有交点，应满足22－4(k－3)≥0，解得k≤4.因k＝3在k≤4范围内，故选B.专题突破八┃分类讨论题本题受思维定势的影响，容易忽视k＝3时该函数为一次函数的情形．所以，解题时要关注题目中的隐含条件，全面考虑问题，重视分类讨论思想的应用．专题突破八┃分类讨论题例2[2011·广安]某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．►类型之二根据图形形状进行分类讨论专题突破八┃分类讨论题解：在Rt△ABC中，∵AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝10m.(1)如图1，当AB＝AD时，CD＝6m，△ABD的周长为32(m)；(2)如图2，当AB＝BD时，CD＝4m，AD＝45m，△ABD的周长是10＋10＋45＝(20＋45)m；专题突破八┃分类讨论题(3)如图3，当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x－6，则x2＝(x－6)2＋82，∴x＝253，∴△ABD的周长是803m.∴扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20＋45m或803m.专题突破八┃分类讨论题当等腰三角形的腰、底边不确定时，应对等腰三角形的形状分类讨论．同样地，当直角三角形的直角不确定时，也应分三种情况讨论．专题突破八┃分类讨论题例3[2012·河北]如图X8－1，A(－5,0)，B(－3,0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．(1)求点C的坐标；(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．►类型之三根据图形运动的不同位置进行分类讨论图X8－1专题突破八┃分类讨论题解：(1)∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC＝OB＝3.又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为(0，3)．(2)当点P在点B右侧时，如图2.若∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°.故OP＝OCtan30°＝3，此时t＝4＋3.当点P在点B左侧时，如图2，由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，故PO＝OCtan60°＝33.此时t＝4＋33.∴t的值为4＋3或4＋33专题突破八┃分类讨论题(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°得到OP＝3.此时t＝1.②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t＝4.③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO＝90°，∴点A为切点，如图3.PC2＝PA2＝(9－t)2，PO2＝(t－4)2.于是(9－t)2＝(t－4)2＋32.解处t＝5.6.∴t的值为1或4或5.6.专题突破八┃分类讨论题本题综合了二次函数、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识，渗透了数形结合、分类讨论、方程函数等多种数学思想方法．解题时要善于化整为零，逐个突破．在对平行四边形和相似三角形的分类讨论时，要做到不重复，不遗漏．专题突破八┃分类讨论题