稳定性模型

第六章稳定性模型稳定性模型•对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。•不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。一般的微分方程或微分方程组可以写成：(,)dxftxdt=定义称微分方程或微分方程组为自治方程或动力系统。（右端不显含t)()dxfxdt=（3.28若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。定义2设x0是（3.28）的平衡点，如果存在一个区域，使（3.28）的解x(t)满足，称平衡点x0为稳定的，否则称x0是不稳定的。0lim()0txtx→∞−=用定义讨论微分方程平衡点的稳定性，称为间接法，不求出x(t)的方法称为直接法，所用工具为以下一些定理。解析方法定理1设xo是微分方程的平衡点：()dxfxdt=0)('oxf若,则xo是稳定的'()0ofx若,则xo是不稳定的证由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：()()()'()()oooofxfxfxxxoxx=+−+−由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若，则当xxo时必有f(x)0，从而x单增；当xxo时，又有f(x)0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→xo，故xo是稳定的。0'()0fx的情况可类似加以讨论。'()0ofx6.1捕鱼业的持续收获•再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）•再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析•在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。•如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景ExNxrxxFtx−−==)1()()(&)1()()(Nxrxxftx−==&)()()(xhxfxF−=记产量模型假设•无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律•单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足•不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量0)(=xF0),1(10=−=xrENxErxFrExF−=′−=′)(,)(10产量模型ExNxrxxFtx−−==)1()()(&平衡点稳定性判断0)(,0)(10′′⇒xFxFrE0)(,0)(10′′⇒xFxFrEx0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx6.2军备竞赛•描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程•解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的gkyxtx++−=α)(&建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量hylxty+−=β)(&α,β~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。t→∞时的x(t)，y(t)线性常系数微分方程组dycxtybyaxtx+=+=)()(&&的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)~代数方程00=+=+dycxbyax的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0xtxt=∞→称P0是微分方程的稳定平衡点,)(lim0ytyt=∞→记系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dcbaA特征方程0)det(=−IAλ⎪⎩⎪⎨⎧=+−==++Aqdapqpdet)(02λλ特征根2/)4(22,1qpp−±−=λ线性常系数微分方程组dycxtybyaxtx+=+=)()(&&的平衡点及其稳定性特征根2/)4(22,1qpp−±−=λ平衡点P0(x0,y0)微分方程一般解形式ttecec2121λλ+平衡点P0(x0,y0)稳定平衡点P0(x0,y0)不稳定λ1,2为负数或有负实部p0且q0p0或q0klAqp−==+=−−−=αββαβαdet0)(klhglyklgkhx−+=−+=αβααββ00,平衡点稳定性判断⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=βαlkA系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件0,0qpklαβ⎩⎨⎧+−=++−=hylxtygkyxtxβα)()(&&模型军备竞赛模型的定性解释klαβ双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件1)双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。平衡点klhglyklgkhx−+=−+=αβααββ00,2)若g=h=0,则x0=y0=0,在αβkl下x(t),y(t)→0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。⎩⎨⎧+−=++−=hylxtygkyxtxβα)()(&&模型α,β~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备。0,0yx&&4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，gkyx+=&即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。0≠k0≠g模型的定性解释α,β~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。⎩⎨⎧+−=++−=hylxtygkyxtxβα)()(&&模型6.3种群的相互竞争•一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。•当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。•建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=221122221)(NxNxxrtxσ&)1()(11111Nxxrtx−=&⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=111111)(Nxxrtx&模型假设•有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;)1()(22222Nxxrtx−=&•两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的σ1倍。11σ对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型221Nxσ−模型分析⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=221111111)(NxNxxrtxσ&⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=221122221)(NxNxxrtxσ&的趋向时)(),(21txtxt∞→(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程),()(),()(212211xxgtxxxftx==&&的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程0),(0),(2121==xxgxxf的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim011xtxt=∞→称P0是微分方程的稳定平衡点,)(lim022xtxt=∞→模型判断P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程)1(),()(),()(212211xxgtxxxftx==&&)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx−+−=−+−=&&02121PxxxxggffA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎩⎪⎨⎧=+−==++AqgfpqpPxxdet)(00212λλ平衡点P0稳定(对2,1)p0且q0平衡点P0不稳定(对2,1)p0或q0),,0(),0,(2211NPNP平衡点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≡=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≡01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxfσσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=221111111)(NxNxxrtxσ&⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=221122221)(NxNxxrtxσ&仅当σ1,σ21或σ1,σ21时，P3才有意义模型)0,0(,1)1(,1)1(4212221113PNNP⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−σσσσσσ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxxσσσσ平衡点稳定性分析4,3,2,1,det,)(21==+−=iAqgfpipipxx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≡2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxfσσ平衡点Pi稳定条件：p0且q0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点)0,(11Np)1(221σ−−rrpq)1(221σ−−rr),0(22Np211)1(rr+−−σ)1(121σ−−rr⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−2122211131)1(,1)1(σσσσσσNNp2121211)1)(1(σσσσ−−−rr)0,0(4p)(21rr+−21rr2122111)1()1(σσσσ−−+−rrσ21,σ11,P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点σ11,σ21P1稳定的条件σ11?σ11σ21稳定条件结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的σ1倍。11σ对甲增长的阻滞作用，乙小于甲⇒乙的竞争力弱•P1稳定的条件：σ11,σ21σ21⇒甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝•P2稳定的条件：σ11,σ21•P3稳定的条件：σ11,σ21通常σ1≈1/σ2，P3稳定条件不满足6.4种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1111111)(Nxxrtx&模型假设•甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。•乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的σ1倍221Nxσ+甲为乙提供食物是乙消耗的σ2倍()1)(222−=xrtx&⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=1122221)(Nxxrtxσ&⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=221122221)(NxNxxrtxσ&种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定1,1212σσσ1,1,12121σσσσ平衡点pq)0,(11NP)1(221−−σrr)1(221−−σrr)0,0(3P21rr+−21rr−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−2122211121)1(,1)1(σσσσσσNNP2121211)1)(1(σσσσ−−−rr2122111)1()1(σσσσ−−+−rrσ1σ21~σ21前提下P2存在的必要条件结果解释⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−2122211121)1(,1)1(σσσσσσNNPσ21~甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的σ2倍σ11~σ21,σ1σ21的需要，且σ1必须足够小，才能在σ21条件下使σ1σ21成立P2稳定条件：σ11,σ21,σ1σ21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=2211111111)(NxNxxrtxσ&甲可以独自生存⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=221122221)(NxNxxrtxσ&乙不能独立生存•函数是MATLAB编程的主流方法•除了函数外，还可以采用M-script（M－脚本文件）文件MATLAB函数的编写2.4.1MATLAB语言的函数的基本结构例：前面的