力的正交分解法在静力学、动力学中的应用

力的正交分解法在静力学、动力学中的应用1/4正交分解法解题指导正交分解法的目的和原则在力的正交分解法中，分解的目的是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。物体受到F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，则在x轴方向各力的分力分别为F1x、F2x、F3x…，在y轴方向各力的分力分别为F1y、F2y、F3y…。那么在x轴方向的合力Fx=F1x+F2x+F3x+…，在y轴方向的合力Fy=F2y+F3y+F3y+…。合力22FFyXF。在运用正交分解法解题时，关键是如何确定直角坐标系。在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则；在动力学中，以加速方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标，这样使牛顿第二定律表达式为：maFFxy;0一、在静力学中，运用正交分解法典型例题例1.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N，受到斜向上方向与水平面成300角的力F作用，F=50N，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？解题步骤（1）受力分析（2）建立直角坐标系，受力分解（3）沿x轴和y轴列方程等式解：对物体进行受力分析，建立直角坐标系，受力分解，如图2所示。则：0030sin,30cosFFFFyX由于物体处于静止状态时所受合力为零则在竖直方向（或y轴方向）有：GFN030sin030sinFGN根据牛顿第三定律，物体受地面的支持力的大小为则在水平方向上（或x轴方向）有：030cosFf2：F1、F2与F3三个力共同作用在O点，如图3所示，F1、F2与F3之间的夹角均为600，求合力。3：如图所示，一物体通过OA、OB两根绳子悬挂于天花板上，已知物体重质量为5Kg，AB绳子成1200角，求OA、OB、OC三根绳子分别受力多少图3F1=10NNF2=10NF3=10N300图1OABCFxyxfFGN图2αFx力的正交分解法在静力学、动力学中的应用2/44：如图所示，斜面倾角为300，图1挡板垂直于斜面，图2挡板竖直。已知小球质量为10Kg，求：（1）图1中挡板和斜面受到的压力大小（2）图2中挡板和斜面受到的压力大小5.一质量为m的物体放在倾角为θ的粗糙斜面上。（1）如图3，物体静止于斜面上，求物体的受到的摩擦力（2）如图4，物块由静止开始下滑，求物体受到的摩擦力和物体的下滑的加速度大小二、在动力学中，运用正交分解法典型例题1、正交分解法：将力分解到运动方向和垂直运动方向例1、如图所示，质量为4kg的物体静止于水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体受到大小为20Ｎ，与水平方向成30°角斜向上的拉力F作用时沿水平面做匀加速运动，求物体的加速度是多大?（g取10m/s2）解析：以物体为研究对象，其受力情况如图所示，建立平面直角坐标系把F沿两坐标轴方向分解，则两坐标轴上的合力分别为,sincosGFFFFFFNyx物体沿水平方向加速运动，设加速度为a，则x轴方向上的加速度ax＝a，y轴方向上物体没有运动，图2图1图3图,4V力的正交分解法在静力学、动力学中的应用3/4故ay＝０，由牛顿第二定律得0,yyxxmaFmamaF所以0sin,cosGFFmaFFN又有滑动摩擦力NFF以上三式代入数据可解得物体的加速度a=0.58m/s2说明：当物体的受力情况较复杂时，根据物体所受力的具体情况和运动情况建立合适的直角坐标系，利用正交分解法来解．2、合成法：将力合成到运动方向例2、如图，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1kg．（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（1）求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况．（2）求悬线对球的拉力．解析：（1）球和车厢相对静止，它们的运动情况相同，由于对球的受力情况知道的较多，故应以球为研究对象．球受两个力作用：重力mg和线的拉力FT，由球随车一起沿水平方向做匀变速直线运动，故其加速度沿水平方向，合外力沿水平方向．做出平行四边形如图所示．球所受的合外力为F合＝mgtan37°由牛顿第二定律F合＝ma可求得球的加速度为37tangmFa合7.5m/s2加速度方向水平向右．车厢可能水平向右做匀加速直线运动，也可能水平向左做匀减速直线运动．（2）由图可得，线对球的拉力大小为8.010137cosmgFTN=12.5N说明：本题解题的关键是根据小球的加速度方向，判断出物体所受合外力的方向，然后画出平行四边形，解其中的三角形就可求得结果．二、课堂检测1．如图所示，悬挂于小车里的小球偏离竖直方向θ角，则小车可能的运动情况是（）A．向右加速运动B．向右减速运动C．向左加速运动D．向左减速运动2、如图所示，m=4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。求：（1）小车以a=g向右加速；（2）小车以a=g向右减速时，细线对小球的拉力F1和后壁对小球的压力F2各多大？力的正交分解法在静力学、动力学中的应用4/4三、课后检测1、一斜面AB长为10m，倾角为30°，一质量为2kg的小物体（大小不计）从斜面顶端A点由静止开始下滑，如图所示（g取10m/s2）（1）若斜面与物体间的动摩擦因数为0.5，求小物体下滑到斜面底端B点时的速度及所用时间．（2）若给小物体一个沿斜面向下的初速度，恰能沿斜面匀速下滑，则小物体与斜面间的动摩擦因数μ是多少?二、课堂检测答案1．AD2、解：（1）向右加速时小球对后壁必然有压力，球在三个共点力作用下向右加速。合外力向右，F2向右，因此G和F1的合力一定水平向左，所以F1的大小可以用平行四边形定则求出：F1=50N，可见向右加速时F1的大小与a无关；F2可在水平方向上用牛顿第二定律列方程：F2-0.75G=ma计算得F2=70N。可以看出F2将随a的增大而增大。（这种情况下用平行四边形定则比用正交分解法简单。）（2）必须注意到：向右减速时，F2有可能减为零，这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变，因此F1的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。当时G和F1的合力刚好等于ma，所以a的临界值为ga43。当a=g时小球必将离开后壁。不难看出，这时F1=2mg=56N，F2=0三、课后检测答案1、解：题中第（1）问是知道物体受力情况求运动情况；第（2）问是知道物体运动情况求受力情况。（1）以小物块为研究对象进行受力分析，如图所示。物块受重力mg、斜面支持力N、摩擦力f，垂直斜面方向上受力平衡，由平衡条件得：mgcos30°-N=0沿斜面方向上，由牛顿第二定律得：mgsin30°-f=ma又f=μN由以上三式解得a=0.67m/s2小物体下滑到斜面底端B点时的速度：asvB23.65m/s运动时间：5.52asts（2）小物体沿斜面匀速下滑，受力平衡，加速度a＝0，有垂直斜面方向：mgcos30°－N=0沿斜面方向：mgsin30°－f=0又f=μN解得：μ＝0.58