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专题六辅助圆在解题中的应用在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相关知识来解决问题,这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：模型一定点定长作圆型模型二点圆最值模型三线圆最值模型四直径对直径模型五定弦对定角(非90°)模型六四点共圆微专题辅助圆在解题中的应用平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①)．模型分析模型一定点定长作圆型图①推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．图②专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用针对训练1.如图，已知点O，点C，且线段OC＝3，点A、B是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹．第1题图解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.第1题解图专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用2.如图，已知平行四边形ABCD，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将△AEF沿EF折叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在平行四边形ABCD内(含边上的点)的运动轨迹．解：如解图，点A′的运动轨迹为以点E为圆心，AE长为半径的⊙E的劣弧MN上．第2题解图第2题图专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)：(ⅰ)若D点在⊙O外时，dr，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为________，DE的最小值为________；模型分析模型二点圆最值图①d+rd-r图②专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用(ⅱ)若D点在圆上时，d=r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为________________________，DE的最小值为_____________________；图③d＋r＝2r(即为⊙O的直径)d－r＝0(点D、E重合)图④图⑤(ⅲ)若D点在⊙O内时，dr，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为________，DE的最小值为________.d＋rr－d专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用针对训练3.如图，⊙O、⊙C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，则OB长的最大值为______，OB长的最小值为________，AC长的最大值为______，AC长的最小值为______，AB长的最大值为________，AB长的最小值为________．第3题图8291120专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值为________．第4题图71专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用(ⅰ)如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点．(1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大；(2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大．模型分析模型三线圆最值图①图②专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用(ⅱ)如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是________(如图③)，点P到直线l的最大距离是________(如图④)．图③图④d-rd+r专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用针对训练5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是()A.1B.1.2C.D.5第5题图2B专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大值为________．第6题图174专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用(ⅰ)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为圆O的直径．(ⅱ)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是__________________________________模型分析模型四直径对直径图①图②以AB为直径的圆O(不包含A、B两点)．专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用针对训练7.如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.第7题图解：如解图，点P1、P2即为所求点．第7题解图专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用8.如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围____________．第8题图203≤CQ≤12第9题图9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是________．6专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)也叫定弦定角，那么这个角的顶点轨迹为圆(一部分)．(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；模型分析模型五定弦对定角(非90°)图①专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用图②(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，至于点C是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧上运动．专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用针对训练10.如图，已知四边形ABCD.(1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；图①解：(1)如解图①所示，P1、P2在以点O为圆心，AB长为半径的圆上，点P1、P2即为所求；解图①专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用(2)如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝60°的所有点P；图②(2)如解图②所示，先画△BP2C为等边三角形，再画△BP2C的外接圆，则P1，P3在△BP2C的外接圆上，点P1、P2、P3即为所求；解图②专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用(3)如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝45°的所有点P；图③(3)如解图③所示，P1、P2、P3、P4即为所求，其中∠AOB＝90°.解图③专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用11.如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为________．(请在图中画出点P的运动路径)第11题图433专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用12.如图，∠AOB＝45°，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，且CD＝CE，当CD长保持不变且等于2cm时，则OE长的最大值为___________cm.(请在图中画出点O的运动路径)第12题图102专题六辅助圆在解题中的应用(ⅰ)如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型分析模型六四点共圆图①图②专题六辅助圆在解题中的应用(ⅱ)圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图③，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点)．图③专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用针对训练13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为AC的中点，过点O作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、F，则EF的最小值为________．第13题图52专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用14.如图，如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，∠ADE＝60°，DE交∠ACB的外角平分线于点E，求证：AD＝DE.第14题图证明：如解图，连接AE，∵∠ADE＝∠ACE＝60°，∴A，D，C，E共圆，∴∠AED＝∠ACB＝60°，又∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE.专题六辅助圆在解题中的应用微专题辅助圆在解题中的应用第13题图专题六辅助圆在解题中的应用【解析】如解图，∵∠PEC＝∠PDC＝90°，故四边形PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，∠EOD＝2∠ECD＝120°，故ED＝R，要使得DE最小则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当CP⊥AB时，PC最小15.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为____9/2____．综合训练