人口增长模型的确定

2014年数学建模论文第一套题目：人口增长模型的确定专业：电气工程及其自动化姓名：杨成提交日期：2014.6.29-1-人口增长模型的确定摘要自从英国人口学家和政治经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯1798年发表《人口学原理》后，马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型在世界上引起了轩然大波，并在后来的人口预测中扮演着重要的角色。但是随着时间的发展，由于现代社会与自然环境的改变，马尔萨斯人口指数增长模型在预测未来人口时，误差可能会比较大。在这次建模中，分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和改进之后的马尔萨斯人口指数增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。发现改进后的马尔萨斯模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。关键词：马尔萨斯人口指数增长模型；人口预测；curvefittingtool（cft）.-2-一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。表1人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。如果数据不相符，则对模型进行部分修改，增大模型的准确度。二、问题分析马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比，其数学模型为0)()()(0{NNrNdtdNttt（1）其中r为常数。则方程组（1）的的解为)(0)(0ttrteNN（2）由此可看出，马尔萨斯生物总数增长定律指出任何生物都是随时间按指数方式增长的。在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。三、问题假设1.马尔萨斯人口增长模型-3-假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则，即满足马尔萨斯指数增长模型的两个前提：第一，食物是人类生存所必需的；第二，两性间的情欲是必然的，而且几乎会保持现状。从这两个“人类本性的固定法则”出发，可以得出一个最基本的经济比例：食物或生活资料的增长与人口的增殖之间的关系。马尔萨斯说，人口的增殖比生活资料增长的要快，人口是按几何级数增长的，而生活资料则只按算术级数增长。三个定理：第一点是人口的制约原理，说明人口与生活资料之间必然存在某种正常的比例，即“人口的增长，必然要受到生活资料的限制”；第二点是人口的增殖原理，即“生活资料增加，人口也常随着增加”；第三点是马尔萨斯人口原理的核心，称之为人口的均衡原理，即“占优势的人口繁殖力为贫困和罪恶所抑制，因而使现实的人口得以与生活资料保持平衡”。这个原理与前两个原理是紧密相连的，它说明人口与生活资料之间最终将实现均衡，但是这种均衡不是自然实现的，而是种种“抑制”的产物。此时假设人口增长率r保持不变。2.改进的马尔萨斯人口指数增长模型由于社会的快速发展，自然环境遭受严重破坏，人口的高速增长等一系列原因，人口的增长率不能按照马尔萨斯所假设为一个常数r不改变。此时假设随着时间的推移，增长率r和时间t满足下列关系tbNar（3）其中a,b为两个常数四、变量说明0t：数据的起始时间，即1790年t：时间-4-r：人口增长率0N：当时间t=1790时的人口数量，即3.9*10^6人)(tN：t时刻人口数量ba,均为常数五、模型建立1.马尔萨斯人口指数增长模型由假设一可知当人口增长率r保持不变时，人口数量和时间满足下列方程：)(0)(0ttrteNN2.改进的马尔萨斯人口增长指数模型如果人口增长率不为常数，且假设其与时间关系如（3）式，则将（3）式带入（1）式可求得改进后的马尔萨斯人口指数增长模型如下所示atttoebNabNaNN)(000)()(六、模型求解对于非线性拟合可以使用nlinfit函数进行拟合，也可以使用matlab的cft（curvefittingtool）工具想进行拟合，此方法较为简单便捷，本次建模我采用cft对上述两种模型进行拟合。1.对马尔萨斯模型求解将所给数据中的时间t和人口数量)(tN输入matlab中，然后利用cft对马尔萨斯模型进行拟合得Generalmodel:f(t)=3.9*exp(r*(t-1790))Coefficients(with95%confidencebounds):r=0.02222(0.02163,0.02281)马尔萨斯人口指数增长模型拟合数据与实际数据曲线图如下图1所示-5-图1马尔萨斯指数模型的预测值与真实值17801800182018401860188019001920194019601980050100150200250FitAnalysisoffitfit1fordatasetnvs.tfit1nvs.t2.改进后的马尔萨斯模型求解用cft工具箱对改进后的马尔萨斯模型进行拟合得Generalmodel:f(t)=a*3.9/(3.9*b+(a-3.9*b)*exp(-a*(t-1790)))Coefficients(with95%confidencebounds):a=0.02858(0.02763,0.02953)b=9.996e-005(8.694e-005,0.000113)则改进后的马尔萨斯模型为0.02858)1790()()9.3*)5(^10*6.9990.02858(9.3*)5(^10*6.9999.30.02858tteN改进后的马尔萨斯模型与实际人口数量曲线如下图2所示图2改进后的马尔萨斯指数模型预测值与真实值-6-17801800182018401860188019001920194019601980050100150200250FitAnalysisoffitfit1fordatasetnvs.tfit1nvs.t则从1790年到2000年实际人口数量与马尔萨斯模型预测人口数量和改进后的马尔萨斯预测人口数量曲线图3所示图3实际人口数量与两种预测人口数量曲线图-7-175018001850190019502000050100150200250300350实际值马尔萨斯模型预测改进的马尔萨斯模型预测由图中我们可以明显的看出经过改进后的马尔萨斯模型与实际值更加接近。为了更加直观的显示两种预测模型的准确性，特做了图4的误差率曲线图图4两种模型误差率曲线-8-175018001850190019502000-0.2-0.100.10.20.30.40.5马尔萨斯模型误差改进后马尔萨斯模型误差从（4）图中可以更清楚的看到改进后的马尔萨斯模型预测的准确度相比马尔萨斯指数人口预测模型有了很大的提升。七、结果分析由于人口结构的改变，自然环境的破坏和社会的发展，从图3中已经可以明显的看出马尔萨斯模型在预测未来人口时误差已经开始显现，其原因是马尔萨斯模型的假设已经不能完全满足。当人口数量达一个地区所能容纳的最大人口数时，增长速率将明显减缓。经改进后的马尔萨斯模型在预测人口数量时相比改进前有了很大的提升，从图3可以看出，它的拟合效果更好，更为贴近真实值，尤其是1790~1900年这段时间内，拟合图形与实际图形基本重叠。从图4中也可以看出改进后的马尔萨斯模型的误差率相对改进前更为稳定，波动范围更小。然而改进后的马尔萨斯型也不是完全的准确。从图3可以看出，从1950后随着时间的增长，预测人口数与真实数量之间的误差开始增加。说明仅仅将增长率假设为与人口数量线性有关的变量还是远远不够的。为了得到更加准确的预测，应该在增长率与人口数量的关系上在做进一步的改进。八、参考文献-9-[1]张志涌，杨祖樱.MATLAB教程.北京：北京航空航天大学出版社,2011.[2]何春.马尔萨斯人口模型在广州市人口预测中的应用.[J].广东：广东工业大学学报，2010.31-34.[3]谭永基,俞文呲.基于马尔萨斯人口模型的改进模型.[C]上海:复旦大学出版社,1997[4]xiaxinsbsb.美国1790-2000每十年一次的人口统计数据.[EB/OL].九、附录程序1人口数量真实值与两种预测值曲线clc;clear;x=1790:10:2000;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,248.7,281.4];ny1=3.9*exp(0.02118.*(x-1790));ny2=0.02858*3.9./(9.997*10^(-5)*3.9+(0.02858-9.997*10^(-5)*3.9)*exp(-0.02858.*(x-1790)));plot(x,y,'r',x,ny1,'b',x,ny2,'g');legend('实际值','马尔萨斯模型预测','改进的马尔萨斯模型预测','location','northwest')程序2两种预测值相对误差点阵图clc;clear;x=1790:10:2000;y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,248.7,281.4];ny1=3.9*exp(0.02118.*(x-1790));ny2=0.02858*3.9./(9.997*10^(-5)*3.9+(0.02858-9.997*10^(-5)*3.9)*exp(-0.02858.*(x-1790)));-10-v1=(y-ny1)./y;v2=(y-ny2)./y;plot(x,v1,'o',x,v2,'*')legend('马尔萨斯模型误差','改进后马尔萨斯模型误差','location','best')