【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件：专题7-第1讲-几何证明选讲(选

高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书第一讲几何证明选讲（选修4-1）高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书3．(2014·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径，由(1)得ED＝AB.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书4．(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比．性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书4．射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．5．圆周角与圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书6．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书7．圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书8．弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．9．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例1](2014·东北三校联考)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：(1)BDAD＝BCAC；(2)△ADQ∽△DBQ.热点一相似三角形的判定与性质的应用高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)因为△PBC∽△PDB，所以BDBC＝PDPB，同理ADAC＝PDPA.又因为PA＝PB，所以BDBC＝ADAC，即BDAD＝BCAC.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)连接AB.因为∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ，所以△ABC∽△ADQ，即BCAC＝DQAQ，故BDAD＝DQAQ，又因为∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ，所以△ADQ∽△DBQ.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书判定两个三角形相似的四种常用方法(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若ECCB＝13，EDDA＝1，求DCAB的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB为公共角，∴△ECD∽△EAB，∴DCAB＝ECEA＝EDEB，∴DCAB2＝ECEA·EDEB＝ECEB·EDEA＝14×12＝18，∴DCAB＝24.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)∵EF2＝FA·FB，∴EFFA＝FBFE，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例2](2014·兰州模拟)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.(1)求证：O、B、D、E四点共圆；(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.热点二：圆的内接四边形问题高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)连接BE、OE，则BE⊥EC.又D是BC的中点，所以DE＝BD，又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB.所以∠OED＝∠OBD＝90°，所以O、B、D、E四点共圆．(2)延长DO交圆O于点H.因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，所以DE2＝DM·12AC＋DM·12AB，所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(1)在平面几何中求角的大小，经常考虑用三角形内角和定理及其推论．(2)在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2.如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书解：(1)如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝5.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例3](1)(2014·南京模拟)如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC＝98，OP＝12，求PD的长．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)(2014·太原模拟)如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.①证明：∠ADE＝∠AED；②若AC＝AP，求PCPA的值．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[师生共研](1)∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，∴PB＝r2－OP2＝32(r为圆O的半径)，又∵PC·PD＝PA·PB＝PB2＝34，由PC＝98，得PD＝23.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书(2)①∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C.又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.∵∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE，∴∠ADE＝∠AED.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书②由①知∠BAP＝∠C，∵∠APC＝∠BPA，∴△APC∽△BPA，∴PCPA＝CAAB.又∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C＝∠BAP.由三角形内角和定理可知，∠APC＋∠C＋∠CAP＝180°，∵BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠APC＋∠C＋∠BAP＝180°－90°＝90°，∴∠C＝∠APC＝∠BAP＝13×90°＝30°，在Rt△ABC中，CAAB＝3，∴PCPA＝CAAB＝3.高考专题辅导与测试·数学创新方