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考纲展示第三节平面向量的数量积及平面向量的应用1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模．闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题【考情分析】【命题角度】闯关二：典题针对讲解——求两向量的夹角[例1](2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|2＝－13.高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题【答案】－13闯关二：典题针对讲解——已知数量积求模[例2](2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1,则AB的长为________．解析:由题意可知，AC＝AB＋AD，BE＝－12AB＋AD.因为AC·BE＝1，所以(AB＋AD)·12ABAD＝1，即AD2＋12AB·AD－12AB2＝1.因为|AD|＝1，∠BAD＝60°，所以|AB|＝12，即AB的长为12.高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题【答案】12闯关三：总结问题类型，掌握解题策略平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角．cosθ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题闯关四：及时演练，强化提升解题技能1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，又α∈[0，π]，故α＝π4.高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题闯关四：及时演练，强化提升解题技能2.已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值为________．解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝10.答案：10点击此处可返回目录高频考点全通关——平面向量的夹角与模的问题