1第二节导数的应用(一)【考纲下载】1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a点叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b点叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:2①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)0吗?f′(x)0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0,f′(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件?提示:不一定.可导函数的极值点导数为零,但导数为零的点未必是极值点;如函数f(x)=x3,在x=0处,有f′(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点;其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件.3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别?提示:极值是局部概念,指某一点附近函数值的比较,因此,函数的极大(小)值,可以比极小(大)值小(大);最值是整体概念,最大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.1.如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是()A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减函数C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数解析:选A当x∈(-3,0)时,f′(x)0,则f(x)在(-3,0)上是减函数.其他判断均不正确.2.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)3C.(-∞,0]D.(0,+∞)解析:选D∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1,由f′(x)0,得ex-10,即x0.3.设函数f(x)=2x+lnx,则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点解析:选Df(x)=2x+lnx,f′(x)=-2x2+1x=x-2x2,当x2时,f′(x)0,此时f(x)为增函数;当x2时,f′(x)0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的极小值点.4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是________.解析:f′(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2,又∵x∈[1,+∞),∴a≤3,即a的最大值是3.答案:35.函数f(x)=x33+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.解析:f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-173,f(2)=-103,故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-173.答案:-173压轴大题巧突破(三)利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.[化整为零破难题](1)切点处的导数值即为切线的斜率,求导后计算出斜率,写出切线方程即可;(2)基础问题1:|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系?4如果函数f(x)的最大值为M,最小值为m,则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个.因此要求|f(x)|的最大值,应求f(x)的最值.基础问题2:如何求函数y=f(x),x∈[0,2]的最值?由于f(x)是关于x的三次函数,因此,f(x)在[0,2]上的最值为函数f(x)在[0,2]上的端点值或极值.从而只要求出f(x)在[0,2]上的端点值f(0),f(2)及其极值,然后比较其绝对值的大小即可.基础问题3:如何求f(x)在[0,2]上的极值?要求f(x)在[0,2]上的极值,应利用导数研究函数f(x)在区间[0,2]上的单调性,即研究f′(x)=3(x-1)2+3(a-1)(0≤x≤2)的函数值符号,由于0≤x≤2,所以0≤3(x-1)2≤3.故应分3(a-1)≥0,3(a-1)≤-3,-33(a-1)0,即a≥1,a≤0,0a1三种情况讨论.当a≥1或a≤0时,函数f(x)为单调函数,故只需比较|f(0)|与|f(2)|的大小即可;当0a1时,f(x)在区间[0,2]上存在极大值和极小值.基础问题4:如何比较|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|与|f(x)极小值|的大小?计算f(x)极大值+f(x)极小值=20,f(x)极大值-f(x)极小值0,从而可确定f(x)极大值|f(x)极小值|.因此|f(x)|max=max{}|f,|f,fx极大值,由于0a23时,|f(0)||f(2)|,23≤a1时,|f(2)|=f(2)≥|f(0)|.故当0a23时,只需比较|f(0)|与f(x)极大值的大小即可;当23≤a1时,只需比较f(2)与f(x)极大值的大小即可.[规范解答不失分](1)由题意得f′(x)=3x2-6x+3a,故f′(1)=3a-3.2分又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.4分(2)由于f′(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2,故(ⅰ)当a≤0时①,有f′(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a.5分(ⅱ)当a≥1时①,有f′(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1.6分(ⅲ)当0a1时,设x1=1-1-a,x2=1+1-a,则0x1x22,f′(x)=3(x-x1)(x-x2).列表如下:5x0(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,2)2f′(x)+0-0+f(x)3-3a↗极大值f(x1)↘极小值f(x2)↗3a-1由于f(x1)=1+2(1-a)1-a,f(x2)=1-2(1-a)·1-a,8分故f(x1)+f(x2)=20,f(x1)-f(x2)=4(1-a)·1-a0,从而f(x1)|f(x2)|.②所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.10分a.当0a23时③,f(0)|f(2)|.又f(x1)-f(0)=2(1-a)1-a-(2-3a)=a2-4a-a1-a+2-3a0,故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a)1-a.11分b.当23≤a1时③,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)1-a-(3a-2)=a2-4a-a1-a+3a-2,所以当23≤a34时④,f(x1)|f(2)|.故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a)1-a.12分当34≤a1时④,f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max=|f(2)|=3a-1.13分综上所述,|f(x)|max=3-3a,a≤0,1+-a1-a,0a34,3a-1,a≥34.14分[易错警示要牢记]易错点一①处易忽视对a≤0和a≥1两种情况的讨论,而直接令f′(x)=0,求出x1=1-1-a,x2=1+1-a而导致解题错误6易错点二②处易发生不会比较f(x1)与|f(x2)|的大小,造成问题无法求解,或求解繁琐,进而造成解题失误易错点三③处易发生不知如何比较f(0),|f(2)|,f(x1)三者大小而造成问题无法后续求解.事实上,此处的分类依据是:先比较出f(0)与|f(2)|的大小,然后利用二者中的较大者再与f(x1)比较大小