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1第二节导数的应用(一)【考纲下载】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：2①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0吗？f′(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数的极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数解析：选A当x∈(－3,0)时，f′(x)0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)3C．(－∞，0]D．(0，＋∞)解析：选D∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)0，得ex－10，即x0.3．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选Df(x)＝2x＋lnx，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，当x2时，f′(x)0，此时f(x)为增函数；当x2时，f′(x)0，此时f(x)为减函数，据此知x＝2为f(x)的极小值点．4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.答案：35．函数f(x)＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－173.答案：－173压轴大题巧突破(三)利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．[化整为零破难题](1)切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可；(2)基础问题1：|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系？4如果函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个．因此要求|f(x)|的最大值，应求f(x)的最值．基础问题2：如何求函数y＝f(x)，x∈[0,2]的最值？由于f(x)是关于x的三次函数，因此，f(x)在[0,2]上的最值为函数f(x)在[0,2]上的端点值或极值．从而只要求出f(x)在[0,2]上的端点值f(0)，f(2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可．基础问题3：如何求f(x)在[0,2]上的极值？要求f(x)在[0,2]上的极值，应利用导数研究函数f(x)在区间[0,2]上的单调性，即研究f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)(0≤x≤2)的函数值符号，由于0≤x≤2，所以0≤3(x－1)2≤3.故应分3(a－1)≥0,3(a－1)≤－3，－33(a－1)0，即a≥1，a≤0,0a1三种情况讨论．当a≥1或a≤0时，函数f(x)为单调函数，故只需比较|f(0)|与|f(2)|的大小即可；当0a1时，f(x)在区间[0,2]上存在极大值和极小值．基础问题4：如何比较|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|与|f(x)极小值|的大小？计算f(x)极大值＋f(x)极小值＝20，f(x)极大值－f(x)极小值0，从而可确定f(x)极大值|f(x)极小值|.因此|f(x)|max＝max{}|f，|f，fx极大值，由于0a23时，|f(0)||f(2)|，23≤a1时，|f(2)|＝f(2)≥|f(0)|.故当0a23时，只需比较|f(0)|与f(x)极大值的大小即可；当23≤a1时，只需比较f(2)与f(x)极大值的大小即可．[规范解答不失分](1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.2分又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.4分(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故(ⅰ)当a≤0时①，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.5分(ⅱ)当a≥1时①，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.6分(ⅲ)当0a1时，设x1＝1－1－a，x2＝1＋1－a，则0x1x22，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．列表如下：5x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)3－3a↗极大值f(x1)↘极小值f(x2)↗3a－1由于f(x1)＝1＋2(1－a)1－a，f(x2)＝1－2(1－a)·1－a，8分故f(x1)＋f(x2)＝20，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)·1－a0，从而f(x1)|f(x2)|.②所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}.10分a.当0a23时③，f(0)|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝2(1－a)1－a－(2－3a)＝a2－4a－a1－a＋2－3a0，故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a)1－a.11分b.当23≤a1时③，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)1－a－(3a－2)＝a2－4a－a1－a＋3a－2，所以当23≤a34时④，f(x1)|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a)1－a.12分当34≤a1时④，f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.13分综上所述，|f(x)|max＝3－3a，a≤0，1＋－a1－a，0a34，3a－1，a≥34.14分[易错警示要牢记]易错点一①处易忽视对a≤0和a≥1两种情况的讨论，而直接令f′(x)＝0，求出x1＝1－1－a，x2＝1＋1－a而导致解题错误6易错点二②处易发生不会比较f(x1)与|f(x2)|的大小，造成问题无法求解，或求解繁琐，进而造成解题失误易错点三③处易发生不知如何比较f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成问题无法后续求解．事实上，此处的分类依据是：先比较出f(0)与|f(2)|的大小，然后利用二者中的较大者再与f(x1)比较大小