Mathcad2001-数学运算-符号运算解读

4.符号运算在数学运算中，有时往往不需要求出方程式的数值解，而只需要求出其解析解，这称为符号运算。在Mathcad2001中，所有符号运算功能都包含在Symbolics菜单中。通过符号运算，可以进行代数式的因式分解、展开、简化整式、变量代换；求方程式或不等式的解析解；求微分、积分的解析解；把函数展开成幂级数、把有理分式展开成分部分式等。在符号运算时经常使用下列符号运算符：①代数符号运算符“”(按快捷键“Ctrl＋.”或单击“Symbolic”工具面板中的“”)，它由一个占位符和一个运算符组成。占位符用于输入代数式，当把光标移开时，在箭头右侧将给出此代数式的解析解，即把代数式中的已知参数代入计算并将复杂的代数式化简，其功能相当于“Symbolics”菜单“Evaluate”命令的子命令“Symbolically”(Shift+F9)；②指定代数符号运算符“”(按快捷键“Ctrl+Shift＋.”或单击“Symbolic”工具面板中的“”)，它由两个占位符和一个运算符组成，在左占位符处输入代数式，在右占位符处输入关键字。当将光标移开时，在箭头右侧会显示出代数式的解析解，它将按指定的关键字对代数式进行化简、展开、因式分解、整理、变量代换、解方程、解不等式等。它还可用于求代数式的浮点解、复数解，此时它的功能相当于“Symbolics”菜单“Evaluate”命令的子命令“FloatingPoint”或“Complex”。在符号运算时也经常使用关键字，关键字必须是小写字母。当用指定代数符号运算符进行运算时必须要带一个关键字，如factor、expand、collect、solve等。(1)代数符号运算(a)代数式的化简(Simplify)使用“Symbolics”菜单中的“Simplify”命令，可以把整个表达式或其中的一部分进行代数化简。如：化简代数式x4+2·x3-2·x-1+3·x(1)输入代数式x4+2·x3-2·x-1+3·x，并用编辑线包含整个式子；(2)使用“Symbolics”菜单中的“Simplify”命令，最后得：x4+2·x3+x-1也可用指定代数符号运算符进行代数式的化简，其步骤是：(1)按“Ctrl+Shift＋.”，出现指定代数符号运算符；(2)在左占位符中输入代数式，在右占位符输入关键字simplify；(3)把光标移开并单击，便得：x4+2·x3-2·x-1+3·xsimplify→x4+2·x3+x-1(b)代数式的展开(Expand)使用“Symbolics”菜单中的“Expand”命令，可以把多项式的乘积展开为多项式，把有理分式展开为分部分式。如：展开代数式(x+1)3(x-1)(1)输入代数式(x+1)3(x-1)，并用编辑线包含整个式子；(2)使用“Symbolics”菜单中的“Expand”命令，最后得：x4+2·x3-2·x-1也可用指定代数符号运算符进行代数式的展开，其步骤是：(1)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符；(2)在左占位符中输入代数式，在右占位符输入关键字expand；(3)把光标移开并单击，便得：(x+1)3(x-1)expand→x4+2·x3-2·x-1(c)代数式的因式分解(Factor)使用“Symbolics”菜单中的“Factor”命令，可以把整数分解为素数的乘积，把代数式分解为基本式子的乘积。如：分解一个代数式x3+3·x2+3·x+1，因式分解的步骤是：(1)输入代数式，并用编辑线包含整个式子(否则仅分解编辑线所包含的部分式子)；(2)使用“Symbolics”菜单中的“Factor”命令，最后得：(x+1)3也可用指定代数符号运算符进行因式分解，其步骤是：(1)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符；(2)在左占位符中输入代数式，在右占位符输入关键字factor；(3)把光标移开并单击，便得：x3+3·x2+3·x+1factor→(x+1)3(d)按指定变量整理代数式(合并同类项)(Collect)使用“Symbolics”菜单中的“Colect”命令，可按指定变量重新整理一个代数式，使整理后的代数式为指定变量的多项式。如：把代数式x2-a·y2·x2+2·y2·x-x+x·y分别整理成x、y的多项式，步骤为：(1)输入代数式x2-a·y2·x2+2·y2·x-x+x·y；并用编辑线包含所指定的变量(如x或y)；(2)使用“Symbolics”菜单中的“Collect”命令，最后得：x的多项式：(-a·y2+1)·x2+(y+2·y2-1)·xy的多项式：(-a·x2+2·x)·y2+x·y+x2-x也可用指定代数符号运算符进行按指定变量整理代数式，其步骤是：(1)输入代数式f(x,y)；(2)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符；(3)在左占位符处输入代数式，在右占位符处输入关键字“collect,x”或“collect,y”；(4)把光标移开并单击，便得：x的多项式：f(x,y)collect,x→(-a·y2+1)·x2+(y+2·y2-1)·xy的多项式：f(x,y)collect,y→(-a·x2+2·x)·y2+x·y+x2-x(e)求多项式系数(PolynomialCoefficients)可以使用“Symbolics”菜单中的“PolynomialCoefficients”命令，来返回含有指定变量或指定子式的多项式系数的向量，其步骤是：(1)输入多项式；(2)指定展开变量或式子(3)使用“Symbolics”菜单中的“PolynomialCoefficients”命令即可。也可用指定代数符号运算符来返回含有指定变量或指定子式的多项式系数的向量，其步骤是：(1)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符；(2)在左占位符处输入多项式，在右占位符处输入关键字“coeffs,x或f(x)”，其中“x”是指定展开变量，“f(x)”是指定展开式；(3)把光标移开并单击即可：例：(f)变量代换(Substitute)使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Substitute”，可以用指定的变量或式子代替代数式中的某一变量。如：用v、w代换代数式sin()2+cos()4中的三角函数sin()、cos()。(1)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符；(2)在左占位符输入代数式，在右占位符输入关键字“substitute,x=代换式”，此处的“x”为被代换式，而“=”是恒等式,用“Ctrl+=”输入；(3)把光标移开并单击，便得：sin()2+cos()4substitute,sin()=v,cos()=w→v2+w4(g)同时对代数式进行多项操作用户若想一次完成多项操作，可使用以下步骤：(1)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符；(2)在左占位符输入代数式，在右占位符输入第一个关键字；(3)再次按“Ctrl+Shift+.”，在第一个关键字左侧出现一道竖线，并在竖线下方给出一个占位符供输入第二个关键字。依次类推，可输入第三、第四…个关键字；(4)按下“Ctrl+.”并把光标移开单击即可。例：(2)代数式求值(Evaluate)“Symbolics”菜单中的“Evaluate”命令用于求解代数式，它包含三个子命令：Symbolically(给出代数解)、FlotingPoint(给出实数解)以及Complex(给出复数解)。当然，求解代数式也可以使用关键字加运算符来进行。在使用“FloatingPoint”子命令时，将显示如图29所示的对话框：图29用户可在此框内输入浮点数的精度，范围为1～4000之间的整数，当此数大于255时将计算结果存入剪贴板中而不显示在屏幕上。例：解析解：实数解：复数解：010xx2d10003333.3336,1002floatdxx)2sin()2cos(2nincomplexeni(3)方程、不等式的解析解使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Solve”可以求出一元方程、多元方程组、不等式的解析解，运用given-find求解模块也可以求得多元方程组的解析解。由于Mathcad2001在求解方程时首先是对代数式进行因式分解，因此对不能分解成基本因式的方程无法求出解析解，但可以得到数值解。(a)解一元方程有两种求解的方法，使用菜单求解的步骤是：(1)输入方程式，其中的等号用“Ctrl+=”输入，如；x3-3x2+3x+9=0(2)用编辑线选择未知数x；(3)使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Solve”；(4)把光标移开并单击，便得：也可用指定代数符号运算符求解方程式，其步骤是：(1)按“Ctrl+Shift+.”，出现指定代数符号运算符;101311210131121i31210131210131121i3121013(2)在左占位符处输入方程式，其中的等号也用“Ctrl+=”输入，在右占位符处输入关键字“solve,x”；(3)把光标移开并单击即可：(b)解多元方程组可用指定代数符号运算符求解方程组，其步骤是：(1)按“Ctrl+Shift+.”插入指定代数符号运算符；(2)在左占位符处通过单击“Matrix”工具面板中的“”矩阵按钮或按“Ctrl＋M”插入一个向量模块，在所显示的“InsertMatrix”对话框输入所需的行数和列数；(3)在向量的各占位符中分别填入各方程，其中的等号用“Ctrl+=”输入；(4)在右占位符处填入关键字“solve”和一个逗号。在出现的占位符处再插入一个n维向量，在其中各占位符处分别填入各未知数；(5)把光标移开并单击即可。例：也可用given-find求解模块来解多元方程组，其步骤如下：(1)输入关键字“given”；(2)在“given”下方输入方程组；(3)在方程组下面键入函数find，函数的变量为方程组的未知数；(4)按下“Ctrl+.”输入计算符“→”，然后把光标移开并单击即可。例：可知，这个方程组有两组复数解。(c)解不等式使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Solve”，可以求解不等式，其步骤如下：(1)输入不等式，并用编辑线选择未知数；(2)使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Solve”；(3)把光标移开并单击即可。例：(4)微分的解析解(Differentiate)使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Differentiate”，可以求函数微分的解析解，也可以使用直接键入微分符的方法进行求解。(a)显函数的微分可以用显式的函数被称为显函数，这是我们经常遇到的函数。①求一元显函数的微分有两种方法可以求解，第一种是使用菜单命令求解，其步骤是：(1)建立函数；(2)用编辑线选择微分变量；(3)使用“Symbolics”菜单“Variable”命令的子命令“Differentiate”；(4)把光标移开并单击即可。例：第二种方法是使用快捷键“？”或单击“Calculus”工具面板中的“”按钮插入微分符来求微分解，其步骤是：(1)建立函数；(2)按“？”或单击“Calculus”工具面板中的“”按钮插入微分符；)sin(323)cos(3223xxxxx(3)在右占位符处键入函数名，在下占位符处键入微分变量；(4)使编辑线包围整个微分式后键入计算符“Ctrl+.”，然后把光标移开并单击即可。例：②求偏微分自变量多于一个的函数为多元函数，求多元函数偏微分的方法与一元函数微分完全相同。要转换成偏微分的符号，可以右击微分符号，在快捷菜单中选择“ViewDerivativeAs”命令的子命令“PartialDerivative”即可。③求高阶微分、高阶偏微分求高阶微分、