第二节--正项级数及其审敛法

第二节正项级数及其审敛法1、定义:1,0nnnaa则称级数若为正项级数.2、正项级数收敛的充要条件:基本定理.}{有界部分和所成的数列正项级数收敛ns部分和数列为单调增加数列.}{ns{}.ns正项级数发散部分和所成的数列无界,11均为正项级数和设nnnnba3、正项级数比较审敛法1,),1,(kknbann且自某项起有.,)1(11也收敛则收敛若nnnnab.,)2(11也发散则发散若nnnnba证明nnaaas21且1)1(nnb设,nnba,即部分和数列有界.1收敛nnanbbb21nns则)()2(nsn设,nnba且不是有界数列.1发散nnb定理证毕.例1讨论p-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1)1p设,11nnp.11发散级数npnp,11发散而级数nn,1)2p设,11ppxnnnppxnn1d11nnpxx1d1pppnns131211nnppxxxx121dd1npxx1d1)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则p发散时当收敛时当级数,1,111ppnpnp重要基本级数几何级数,p-级数,调和级数.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,11121发散而级数knkn.)1(11nnn发散级数例3判别级数)1(11nnnn的敛散性.证明)1(1)1(1nnnnnn,12121212323收敛而级数knnn.)1(11收敛级数nnnn,212123nnn当级数一般项较复杂时，不容易比较，可用下列比较判别法的极限形式,11均为正项级数和设nnnnba4、比较审敛法的极限形式:(比较审敛法2)则有有确定意义若极限,limlbannn两个级数有相同的敛散性；(1)当0l时,(2)当l0时,;11收敛收敛可推出由nnnnab(3)当l时,.11发散发散可推出由nnnnab证明lbannnlim)1(由,02l对于,N,时当Nn22llballnn)(232Nnblablnnn即由比较审敛法的推论,得证.例4判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1原级数发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,311收敛nn故原级数收敛..,11时的无穷小均为和通项均为正项级数和设nbabannnnnn.,)1(11收敛收敛可推出由的同阶或高阶无穷小时为当nnnnnnabba.,)2(11发散发散可推出由的同阶或低阶无穷小时为当nnnnnnabba.,)3(性两个级数有相同的敛散时～当nnba5、比较审敛法3(比阶审敛法)例6判别级数111lnnkn的敛散性.例5判别级数)0(cos11knkn的敛散性.,1为正项级数设nna6、比值审敛法(D’Alembert判别法)则有有确定意义若极限,lim1nnnaa级数收敛；(1)当01时,(2)当1时,(3)当1时,级数发散；级数敛散性需另行判定.比值审敛法的优点:不必找基本级数.两点注意:1.当1时比值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn)1(.,,,,!常用比值审敛法或指数出现的连乘积关于次幂中含有当nnnnan,232)1(2nnnnnvu例,2)1(211收敛级数nnnnnu,))1(2(2)1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu2.条件是充分不必要的.例7判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)1!nnnn;解)1(!1)!1(11nnuunn11n),(0n.!11收敛故级数nn,!1010)!1(limlim)2(11nnuunnnnnn101limnn.10!1发散故级数nnn例7判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)1!nnnn;!)1()!1(limlim)3(11nnnnuunnnnnn.!1收敛故级数nnnnnnnnn)1(lime1例7判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)1!nnnn;)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数nn.)12(211收敛故级数nnn例8判别级数12)12(1nnn的敛散性.解例9讨论级数)0(11xxnnn的敛散性.解1)1(limnnnxnxnnnnaa1limx,10时当x级数收敛；,1时当x级数发散；,1时当x说明:.,lim1lim)1(11比值审敛法失效不存在或若nnnnnnaaaa.)2(条件是充分不必要的.1lim,11nnnnnaaa未必有收敛若即：.,,,,!)3(常用比值审敛法或指数出现的连乘积关于次幂中含有当nnnnan.,,)4(证明常用比较审敛法或定义一般不可用比值审敛法凡涉及抽象证明题例10判别级数1223cosnnnn的收敛性.解,223cos2nnnnnnnnnn221lim1,121,21收敛级数nnn∴原级数收敛.两种判别法可结合应用.,1为正项级数设nna7.根值审敛法(柯西判别法)：则有有确定意义若极限,limnnna级数收敛；(1)当01时,(2)当1时,(3)当1时,级数发散；级数敛散性需另行判定..lim,常用根值审敛法级数易求的等当一般项中含有nnnnnaan.1)1:1的敛散性判定级数例nnn2)判定级数131nnnn的敛散性.3)判定级数143nnn的敛散性.8、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限例：求数列的极限,!lim)1nnnn2)11(lim)2nnn9、正项级数的柯西积分审敛法(课本Page240).d)(),2,1()()(),1[,111同敛散与反常积分则级数使得单减函数上的连续若有定义在对正项级数xxfananfxfannnnn思考题设正项级数1nnu收敛,能否推得12nnu收敛?反之是否成立?解由正项级数1nnu收敛，可以推得12nnu收敛,nnnuu2limnnulim0由比较审敛法知收敛.12nnu反之不成立.例如：121nn收敛,11nn发散.正项级数审敛法小结1.比较审敛法2.比值审敛法3.根值审敛法4.积分审敛法nun＋小结：判别正项级数敛散性程序：否，级数发散按定义比较法lim是否为零是，或无法求比值法根植法积分法