摩擦学原理(第9章数值方法)

第九章润滑分析常用数值方法(commonnumericalmethodsforlubricationanalysis)各种流体润滑问题都涉及到在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为Reynolds方程，它的普遍形式是：这个椭圆型的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或工况条件下的润滑问题，无法用解析方法求得精确解。331212()()()()6()6()hphphhUUVVxxyyxy1212()()(h)+6612UUVVhhxyt•数值法是将偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小，以至于可以认为在各单元内的未知量（例如油膜压力p）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即是将它转化为一组线性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量与周围各单元未知量的关系。最后，根据Gauss消去法或者Gauss-Seidel迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。•用来求解Reynolds方程的数值方法很多，最常用的是有限差分法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。•在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。•边界元方法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似地满足边界条件。•能量方程和弹性变形方程是流体润滑问题中考虑热效应和表面弹性变形时必须求解的重要方程，在本章中也将介绍它们的数值解法。•近年发展的多重网格法在润滑计算中开始得到应用，并有广泛的应用前景。本章的最后还介绍了多重网格法求解微分方程和积分方程。9.1Reynolds方程的数值解法numericalmethodsofReynoldsequation9.1.1无量纲化dimensionless•无量纲化也称为或归一化，是将有关方程的变量用合适的参考量(常数)进行转换，使变量的变化范围在1的数量级上。这个参考量称为相对单位。•为了判断影响润滑问题诸因素的影响大小，以便抓住主要问题和影响的主要方面，可采用归一化的处理方法，对方程组进行适当的简化。•另外，归一化还可以使所得的分析数据具有通用性和广泛性。thzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)]([2)]([)12()12(22212133广义雷诺方程类型名称及简图特点类型名称及简图特点单油楔固定瓦圆筒轴承(α=360°)结构简单，制造方便，有较大承载能力，但高速稳定性差多油楔固定瓦椭圆轴承流量较大、温升较低。旋转精度和高速稳定性优于单油楔圆轴承但承载能力略有降低工艺性比多油楔轴承好部分瓦轴承(α≤180°)结构简单，制造方便，有较大承载能力。功耗，温升都低于圆筒轴承。高速稳定性差，用于载荷方向基本不变的重载轴承双油楔借位轴承同上，用于单向旋转的轴承浮动环轴承环随轴颈旋转，其转速约为轴颈转速的1/2，润滑油流量大，温升低，高速稳定性好，用于小尺寸高速轻载轴承双向三油楔轴承高速稳定性好，工艺性不如圆筒轴承及椭圆轴承类型名称及简图特点类型名称及简图特点多油楔固定瓦多沟轴承结构简单，制造方便，便承载能力低，仅用轻载轴承，高速稳定性略优于圆筒轴承单向三油楔轴承同上。用于单向旋转的轴承螺旋槽轴承利用螺旋的泵入作用和槽面阶梯产生动压承载油膜，温升低，高速稳定性好阶梯轴承同上，承载能力较低，用于小型轴承类型名称及简图特点多油楔可倾瓦可倾瓦弹性支承轴承高速稳定性较好，特别透用于高速轻载轴承，但工艺性较差可倾瓦摆动支承轴承同上。但工艺性较好，大、中、小型轴承均适用多油楔联合轴承动静压联合轴承承载能力大，温升低，功耗小，定心性和稳定性好，特别适于频繁起动的场合，工艺性差，制造较困难但瓦面结构复杂类型名称及简图特点类型名称及简图特点固定瓦推力轴承多油沟推力轴承同多油沟径向轴承。只能在轻载下使用固定瓦斜-平面推力轴承允许轴承有起动载荷斜面推力轴承用于单向旋转，无起动载荷情况阶梯面推力轴承结构结构简单，用于小尺寸轴承螺旋槽推力轴承同螺旋槽径向轴承联合轴承动静压联合推力轴承同动静压联合径向轴承可倾瓦可倾瓦弹性支承推力轴承同可倾瓦弹性支承径向轴承1.方程的无量纲化•两个因素微分方程中起作用的是变量的变化率，而不是其本身值的大小结果的广泛性归一化thzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)]([2)]([)12()12(22212133xh1.方程的无量纲化•固定瓦径向轴承)(2)(2)12()12(33xhUVxUhxhUzphzxphx广义雷诺方程thzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)]([2)]([)12()12(22212133式中)cos1(chrxsincoscossineeVeerUπ2π0UVXY)sin(11crhrxhVreerUrxU1)sincos(11VrhVVrVhVxUh12)12(12126126)cos2sin)2([6)sincos(12)sin(1)cossin(61266eceecreerVxUhxhU不可压缩流体]cos2sin)2([6)cossin(6)()(2323ecreerrhzphzrph)cossin(6eerrh]cos2sin)2([6)()(2323ecrzphzrph稳定工况0,0esin6)()(2323crzphzrph流体动力粘度为常数sin6)()(2323crzphzrphx',',,ctddcdtdeetdddtdceHhBZZxx,2,,1,220000CrpPpttyzB不可压缩流体]cos'2sin)'2([3)()/()(323eZPHZBdPH稳定工况]cos'2sin)'2([3)()/()(323eZPHZBdPH流体动力粘度为常数sin3)()/()(323ZPHZBdPH能量方程]})()[(121{]12)122[(222242233zpxpUhhUzTzphxTxphUhCv无量纲能量方程取相对单位',',,ctddcdtdeetdddtdceHhBZZxxvCCrtTCrpPptt022022000012,2,,1,]})()/()[()(311{3)/(]31[2222222ZpBdpHHZtZPHBdtPH温粘方程tbte压粘方程Pbpe2.相似分析相似是指动力学相似，它包括几何相似运动相似力相似相似分析主要解决：1）确定相似条件2）导出两个相似问题之间各参数的转换关系1）相似条件（1）物理模型与控制方程必须是相同的单值条件（量）：使问题有唯一确定解的条件（量）称为单值条件（量）。纯粹由单值量组成的相似不变量，是决定问题是否相似的量，因而称之为决定性相似不变量。当相似不变量由同类量组成时称之为简单决定性相似不变量，如d/B。当相似不变量由不同类量组成时称之为决定性相似判据，如：。不是纯粹由单值量组成的相似不变量称为非决定性相似不变量（判据）。（2）单值条件（量）相似，由单值量组成的判据相等2200Crp2）相似分析的基本步骤（1）列出问题的全部控制方程和单值条件（量）（2）选取合适的相对单位（3）化成无量纲形式（4）找出决定性和非决定性相似不变量3）转换关系算例以360°圆柱轴承为例，定常工况、层流、等温。雷诺方程与单值条件（量）（1）单值量：轴承直径D（或轴颈直径d）、宽度B、半径间隙C、润滑油动力粘度μ、轴颈旋转角速度ω和轴承所受的载荷W（方向沿y轴）。方程sin6)()(2323crzphzrph边界条件：0,2PBZ0,0P00,,2PPrdzdpWBB2/2/20)cos(式中（2）选取无量纲单位并将方程无量纲化,,ceHhBZZxx,22200CrpPp0,1P0,0P00,,2PPcos1HddpdBWW11202)cos(2sin3)()/()(323ZpHZBdpH无量纲单位无量纲方程边界条件：已知函数：式中（3）找出决定性和非决定性相似不变量模型实验：决定性dBWBd2,/非决定性pH,,,理论计算：,/Bd决定性非决定性pdBWH,,,2例如在稳定工况下流体静压润滑的油膜厚度h为常数，若不考虑相对滑动和热效应，则粘度也是常数。这时Reynolds方程可简化为Laplace方程，即（9.1）将式（9.1）无量纲化，令x=XA，y=YB，A，B为几何尺寸；p=Ppr，pr为油腔压力；=A2/B2；则无量纲化的Reynolds方程为（9.2）022222ypxpp02222YPXP求解方程（9.2）的无量纲化边界条件为（1）在油腔内P=1（2）在四周边缘上P=0若令代入雷诺方程，得无量纲化基本方程(9.3)202200106(1)(2)xXByYLUBpPhBLhhXHhhh取dXdHHXPdXdHHYPXP3222213例如图9.1所示有限长斜面滑块。图9.1斜面滑块3312()()()6()hphphUUxxyyx这种形式的方程被称为Poisson方程。再将P=Pc（1-Y2）代入方程（9.3），则变换成只含变量Pc和X的方程，即可求解中间断面上无量纲化压力Pc随X的变化。即（9.4）dXdHHPXPdXdHHXPccc322123广义雷诺方程方程的无量纲化•固定瓦径向轴承)(2)(2)12()12(33xhUVxUhxhUzphzxphxthzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)]([2)]([)12()12(22212133式中)cos1(chrxsincoscossineeVeerUπ2π0UVXY)sin(11crhrxhVreerUrxU1)sincos(11VrhVVrVhVxUh12)12(12126126)cos2sin)2([6)sincos(12)sin(1)cossin(61266eceecreerVxUhxhU