2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

第1页共19页2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．若复数312aii（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．－2B．4C．6D．－6【答案】D【解析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，使实部为0，虚部不为0，可得结论．【详解】复数3(3)(12)(6)(32)12(12)(12)5aiaiiaaiiii，若复数是纯虚数，则60320aa，解得a＝﹣6．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的分类，是基础题．2．用数学归纳法证明2(1)(2)(32)(21)nnnnn（*nN）的过程中，从nk到1nk时，左边需增加的代数式是()A．3k－1B．9kC．3k＋1D．8k【答案】D【解析】写出n＝k+1的表达式，用f（k+1）﹣f（k）即可得到答案．【详解】设f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2），f（k+1）＝（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）则f（k+1）﹣f（k）＝3k﹣1+3k+3k+1﹣k＝8k，即需要增加的代数式为8k,故选：D．【点睛】本题考查数学归纳法的应用，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1的变化，属于中档题.第2页共19页3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个偶数D．假设至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。4．已知随机变量X服从正态分布2(3,)N，且(5)0.8PX，则(13)PX（）A．0.8B．0.2C．0.1D．0.3【答案】D【解析】由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为X=3,根据正态曲线的对称性可得结果.【详解】随机变量X服从正态分布2(3,)N，则曲线的对称轴为X=3,由(5)0.8PX可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2，则(13)PX12(15)PX12(1-0.2-0.2)=0.3故选：D【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示，并根据对称性求解，考查数形结合的应用，属于基础题.5．一张储蓄卡的密码是6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字，如果他记得最后一位是偶数，则他不超过两次第3页共19页就按对的概率为（）A．13B．23C．25D．15【答案】C【解析】任意按最后一位数字，不超过2次就按对有两种情形一种是按1次就按对和第一次没有按对，第二次按对，求两种情形的概率和即可；【详解】密码的最后一个数是偶数，可以为0,2,4,6,8按一次就按对的概率：115P,第一次没有按对，第二次按对的概率：2411545P则不超过两次就按对的概率：12112555PPP,故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的运用，是基础题.6．从5名同学中选出正，副组长各1名，有（）种不同的选法A．10种B．20种C．25种D．30种【答案】B【解析】根据分步计数原理，可得不同的选法总数．【详解】先选正组长，有5种方法，再选副组长，有4种方法，根据分步计数原理，不同的选法共有5×4＝20种，故选：B．【点睛】本题主要考查两个基本原理的应用，属于基础题．7．过点(2,6)P作曲线3()3fxxx的切线，则切线方程为（）A．30xy或24540xyB．30xy或24540xyC．30xy或24540xyD．24540xy【答案】A【解析】设切点坐标，求函数的导数，可得切线斜率和切线方程，代入点P，解方程可得切点和斜率，进而得到所求切线方程．第4页共19页【详解】设切点为（m，m3-3m），3()3fxxx的导数为2()33fxx，可得切线斜率k＝3m2-3，由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），代入点(2,6)P可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），解得m＝0或m＝3，当m=0时，切线方程为30xy，当m=3时，切线方程为24540xy，故选：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过某一点的切线方程的求法，步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.8．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【答案】C【解析】分析：根据题意，易得从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球的概率，进而以此分析选项：对于A，2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，由相互独立事件的概率公式可得其概率，对于B，2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，由相互独立事件的概率公式可得其概率，对于C、至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，由对立事件的概率性质可得其概率，对于D，从甲、乙两袋中摸球有三种情况，即2个球都不是红球，2个球都是红球，2个球中恰有1个红球，由互斥事件的概率性质，可得2个球中恰有1个红球的概率，将求得的概率与比较，即可得答案．第5页共19页解答：解：根据题意，从甲袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为1-=，从乙袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为1-=，依次分析选项，对于A、2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，则其概率为×=，不合题意；对于B、2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概率为×=，不合题意；对于C、至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，则其概率为1-=，符合题意；对于D、由A可得，2个球都不是红球的概率为，由B可得2个球都是红球的概率为，则2个球中恰有1个红球的概率为1--=，不合题意；故选C．9．将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）种．A．7B．10C．14D．20【答案】B【解析】由题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分两种情况讨论，分别求出不同的放球方法数目，相加可得答案．【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，故选：B．【点睛】第6页共19页本题主要考查两个基本原理的应用和组合数的应用，属于基础题．10．已知函数2()(1)2()2xxfxmemR有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A．)1,11(eB．1(1,0)eC．1(1,1)eD．1(1,1)e【答案】A【解析】求函数的导数，函数有两个极值点,可转为()fx有两个不同零点，变量分离，令()xxgxe，分析函数g(x)的单调性，最值，可得m范围．【详解】函数2()(1)2()2xxfxmemR，定义域为R，因为函数f（x）有两个极值点，所以()(1)xfxxme有两个不同的零点，故关于x的方程1xxme有两个不同的解，令()xxgxe，则1()xxgxe，当x∈（﹣∞，1）时，g'（x）＞0，在区间（﹣∞，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，在区间（1．+∞）上单调递减，又当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→0，且1(1)ge，故101me，所以11m1e，故选：A．【点睛】本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【答案】C【解析】试题分析：,故选C.第7页共19页【考点】排列组合.12．已知函数1,0()3,0xexfxxaxx（a∈R），若函数(())2yffx恰有5个不同的零点，则a的取值范围是（）A．(0,)B．)0,(C．(0,1)D．(1,)【答案】A【解析】利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值，通过函数的图象，转化求解即可．【详解】当x＞0时，112(1)(),()xxeexfxfxxx，，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1，当x≤0时，f（x）＝ax+3的图象恒过点（0，3），当a≤0，x≤0时，f（x）≥f（0）＝3，当a＞0，x≤0时，f（x）≤f（0）＝3，作出大致图象如图所示．方程f（f（x））﹣2＝0有5个不同的根，即方程f（f（x））＝2有五个解，设t＝f（x），则f（t）＝2．结合图象可知，当a＞0时，方程f（t）＝2有三个根t1∈（﹣∞，0），t2∈（0，1），t3∈（1，3）．(2(3)23ef，∴1＜t3＜3），于是f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2有一个解，f（x）＝t3有三个解，共有5个解，而当a≤0时，结合图象可知，方程f（f（x））＝2不可能有5个解．第8页共19页综上所述：方程f（f（x））﹣2＝0在a＞0时恰有5个不同的根．故选：A．【点睛】本题考查函数的零点以及函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，考查数形结合的应用，属于中档题．二、填空题13．52xyxy的展开式中33xy的系数为_______（用数字填写答案）.【答案】40【解析】555()(2)(2)(2)xyxyxxyyxy,根据5(2)xy的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可.【详解】555()(2)(2)(2)xyxyxxyyxy，由5(2)xy展开式的通项公式515(2)()rrrrTCxy可得：当r=3时，5(2)xxy展开式中33xy的系数为32352(1)40C；当r=2时，5(2)yxy展开式中33xy的系数为23252(1)80C，则33xy的系数为80-40=40.故答案为：40．【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.14．设随机变量的分布列为()Pk21C()()33kknkn，k0，1，2，…，n，且()24E，则()D_____________【答案】8【解析】由题意得随机变量2~(,)3