控制工程基础-第四章

频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同,频率特性法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标，而是根据系统对正弦信号的稳态响应,即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。因此,从某种意义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。第四章频率特性分析频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频率特性法与时域分析法和根轨迹法又是统一的。频率特性虽然是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能.第一节频率特性的概念第二节极坐标图的绘制第三节对数坐标图的绘制第四节奈奎斯特稳定判据第五节伯德稳定判据第六节系统的相对稳定性第七节闭环频率特性及性能指标第一节频率特性的概念三、最小相位系统与非最小相位系统的概念一、频率响应和频率特性二、频率特性的表示方法一、频率响应和频率特性1.频率响应的定义：线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出称为频率响应。()rtt0图4-1线性定常系统的频率响应()ctt0()rt()ct()s或()rt()ct()Gs设线性定常系统的传递函数为(4-1)10111011()()()mmmmnnnnbsbsbsbCssRsasasasa()sinrrtAt输入输出信号的拉氏变换22()()()rrAARsssjsj()()()CssRs(4-2)1011122011mmmmrnnnnbsbsbsbAasasasas假设系统传递函数的极点为且互不相等，则式(4-2)可展开成部分分式：(1,2,),ipin10112()()()()()()mmmrnbsbsbACsspspspsjsj1212nnCCCBDspspspsjsj1niiiCBDspsjsj(4-3)对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为：1()iptnjtjtiiCtCeBeDe(4-4)对于稳定的系统，系统的稳态响应为：()jtjtssCtBeDe(4-5)lim()()iiissCssFs［注：］()lim()()()()2rrsjAjABssjsjsjj()lim()()()()2rrsjAjADssjsjsjj复数()()()jjjje()()()jjjje()()()jjjje()()()jjjje()()2jjrABjej()()2jjrADjej()()()2jjjtrssACtjeej()()2jjjtrAjeej()()()2jjtjjtrAjeej(4-6)()sin()rjAtjtsin()cAt式中()crAjAIm()()()Re()jjarctgjtjjtjjrsseejAjtC)()(2)()(线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的倍；输出信号相对输入信号的相移为；输出信号的振幅及相移都是角频率的函数。()j()()jcArA结论2.频率特性定义(4-7)()sjs称(4-7)式为该系统的频率特性。10111011()()()()()()()()sjmmmmnnnnjsbjbjbjbajajaja(4-8)()()()jjjje频率特性是传递函数中的复变量仅在虚轴上取值的特殊情况。频率特性是在频率域内描述系统运动的又一种数学模型。s(,0)sj结论3.幅频特性、相频特性、实频特性、虚频特性()()()()()jjjjjeAe(4-10)()Re()Im()()()jjjjUjV(4-9)或22()Re()()cos()()Im()()sin()()()()()()()arg()UjAVjAAjUVVtgU幅频特性相频特性实频特性虚频特性①频率特性不只是对系统而言，其概念对元件、部件、控制装置等都适用。说明②虽然频率特性是在假定系统稳定的条件下导出的，但是频率特性的概念不只是适用于稳定系统，也适用于不稳定的系统，只是不稳定系统的频率特性观察不到。③频率特性和传递函数一样，只适用于线性定常系统。频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp二、频率特性的表示方法为了在较宽的频率范围内直观的表示系统的频率响应，用图形法更方便，常用的图形方法有：(2)对数坐标图(Bode图)(1)极坐标图(Nyquist图)三、最小相位系统与非最小相位系统的概念在开环传递函数中没有位于右半平面内的极点和零点的系统称为最小相位系统，反之，非最小相位系统在右半平面内有开环极点或开环零点。ss1211(),()11ssGsGsTsTs(0)T这两个系统的幅频特性和相频特性分别为：2211221111()()1()()argargarg()AGjTVtgtgtgTU2222222221()()1()()argargarg()AGjTVtgtgtgTU最小相位系统的相位变化量总小于与非最小相位系统的相位变化量。例1设单位负反馈控制系统的开环传递函数为10()1Gss试求在输入信号0()sin(30)rtt作用下的稳态输出。10()11ss系统的传递函数系统的频率特性系统的幅频特性和相频特性分别为：10()11jj2210()0.905111A解：01()arg5.211tg0()0.905sin(24.8)ctt例2设单位负反馈控制系统的开环传递函数为10()1Gss试求在输入信号0()2cos(245)rtt作用下的稳态输出。2210()0.894112A解：10()11ss系统的传递函数系统的频率特性系统的幅频特性和相频特性分别为：10()11jj02()arg10.311tg0()1.79cos(255.3)ctt12()()()()nrtrtrtrt111222()sin()sin()sin()nnnrtAtAtAt或111222()sin[()]sin[()]sin[()]nnnctCtCtCt稳态输出第二节极坐标图的绘制一、典型环节的极坐标图二、系统极坐标图的绘制当由变化时，频率特性的幅值和相角在极坐标中形成的曲线，叫做频率特性的极坐标图或幅相特性曲线或奈奎斯特图(Nyquist)。0一、典型环节的极坐标图()()AGjK（4-11b）幅频特性0()()0Gj（4-11c）相频特性1.比例环节（放大环节）KsG)(比例环节的传递函数00()jGjKKe（4-11a）对应的频率特性mI0图4-2放大环节的极坐标图0eRK2.积分环节ssG1)(积分环节的传递函数对应的频率特性jjG1)(（4-12a）相频特性0()()900Gjarctg（4-12c）11()()AGjj（4-12b）幅频特性eRmI0图4-3积分环节的极坐标图0090积分环节的相频特性等于，与角频率无关，表明积分环节对正弦输入信号有的滞后作用；其幅频特性等于，是的函数，当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。在平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。GH1090090结论3.惯性环节1()1GsTs惯性环节的传递函数对应的频率特性1()1GjjT（4-13a）相频特性()()GjarctgT（4-13c）221()()1AGjT（4-13b）幅频特性()1,A0()0;1()0.707,2A0()45;0当时，1T当时，当时，()0,A0()90.1图4-4惯性环节的极坐标图045T/1mIeR000.5惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节注意01T/1045mIeR00.5222211111)(TTjTjTjG令221Re()(),1GjuT)(1)(Im22vTTjG则有22211()()22uv证明：推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即时，其频率特性是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。1)(jTKjG(,0)2K2K222()()22KKuv4.理想微分环节()Gss理想微分环节的传递函数对应的频率特性()Gjj（4-14a）相频特性0()()900Gjarctg（4-14c）()()AGjj（4-14b）幅频特性图4-5理想微分环节的极坐标图GH090eRmI005.一阶微分环节()1Gss一阶微分环节的传递函数对应的频率特性()1Gjj（4-15a）相频特性()()Gjarctg（4-15c）22()()1AGj（4-15b）幅频特性0,当时1,当时,当时()1,A0()0;()2,A0()45;(),A0()90.图4-6一阶微分环节的极坐标图0eRmI0A1GH6.振荡环节振荡环节的传递函数121)(22TssTsG频率特性(4-16a)TjTTjTjG2)1(1121)(2222幅频特性2222221()()(1)4AGjTT(4-16b)相频特性(4-16c)222()()1TGjarctgT16150,当时1T当时,,当时()0,A0()180.0()0;()1,A0()90;1(),2A图4-7振荡环节的极坐标图0mIeR1nnnnr0rMr大小振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值和谐振频率由幅频特性的极值方程解出。)1(rrMMr2222221()0(1)4ddAddTT(4-16d)2221211nrT(4-16e)1(0)2max21()21rMA1(0)2（4-16f)b图4-8振荡环节的幅频特性()A0707.0rrM1在的范围内，随着的增加，缓慢增大；当时，达到最大值；当时，迅速减小，时的频率称为截止频率；频率大于后，输出幅值衰减很快。r0()ArrM()Ar()A()0.707Abb当阻尼比时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联，即11111)(21sTsTsG7.二阶微分环节二阶微分环节的传递函数12)(22