2019年全国1卷理科数学高考真题与答案解析-详细答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合242{60{}MxxNxxx=−=−−，，则MN=A．{43xx−B．42{xx−−C．{22xx−D．{23xx2．设复数z满足=1iz−，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()xy+=B．221(1)xy+=−C．22(1)1yx+−=D．22(+1)1yx+=3．已知0.20.32 log0.220.2abc===，，，则A．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=2sincos++xxxx在[,]−的图像大致为A．B．C．D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足||2||=ab，且()−ab⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa==，，则A．25nan=−B． 310nan=−C．228nSnn=−D．2122nSnn=−10．已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB=，1||||ABBF=，则C的方程为A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=11．关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]−有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．68B．64C．62D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线23()exyxx=+在点(0)0，处的切线方程为____________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若214613aaa==，，则S5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，120FBFB=，则C的离心率为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(12分)ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC−=−．（1）求A；（2）若22abc+=，求sinC．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．19．（12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB=，求|AB|．20．（12分）已知函数()sinln(1)fxxx=−+，()fx为()fx的导数．证明：（1）()fx在区间(1,)2−存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi=表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=，81p=，11iiiipapbpcp−+=++(1,2,,7)i=，其中(1)aPX==−，(0)bPX==，(1)cPX==．假设0.5=，0.8=．(i)证明：1{}iipp+−(0,1,2,,7)i=为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=+=+，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc++++；（2）333()()()24abbcca+++++．2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1．C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，42,23MxxNxx=−=−，则22MNxx=−．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),zxyizixyi=+−=+−22(1)1,zixy−=+−=则22(1)1xy+−=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3．B【分析】运用中间量0比较,ac，运用中间量1比较,bc【详解】22log0.2log10,a==0.20221,b==0.3000.20.21,=则01,cacb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则2626511052xxy+−==+，得42.07,5.15xcmycm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5．D【分析】先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx−+−−−−===−−+−+，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f++==2()01f=−+．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6．A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C=516，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7．B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb−⊥得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()abb−⊥，所以2()abbabb−=−=0，所以2abb=，所以cos=22||12||2abbabb==，所以a与b的夹角为3，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．8．A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122Ak==是，因为第一次应该计算1122+=12A+，1kk=+=2，循环，执行第2次，22k=，是，因为第二次应该计算112122++=12A+，1kk=+=3，循环，执行第3次，22k=，否，输出，故循环体为12AA=+，故选A．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA=+．9．A【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，55a=，44(72)1002S−+==−，排除B，对C，245540,25850105SaSS==−=−−=，排除C．对D，24554150,5250522SaSS==−=−−=，排除D，故选A．【详解】由题知，41514430245dSaaad=+==+=，解得132ad=−=，∴25nan=−，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列