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2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面【课标要求】1．了解平面的无限延展性，掌握其画法与表示，培养空间想象能力．2．掌握点、线、面之间的位置关系的符号表示．3．理解平面的基本性质(三个公理)，能够用图形、文字、符号语言进行刻画，明确其作用，培养逻辑推理与合情推理能力．【核心扫描】1．正确理解平面的概念．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(易混点)自学导引1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．无限延展(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.(3)平面的表示法图①的平面可表示为，平面ABCD，或平面BD.平行四边形45°2倍虚线平面α平面AC想一想：立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区别？提示(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；(2)平面是无大小．．．、厚薄．．之分的，是不可度量．．．．的，无大小，无面积，它可以无限延展．．．．，没有边界．．．．．．2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：所有点文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l在平面α外直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α、β相交于直线lα∩β＝lA∈lA∈αl⊂αA∉lA∉αl⊄α试一试：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部分？提示一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．公理内容图形符号公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α两点公理2过不在一条直线上的三点，一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l过该点的公共直线有且只有想一想：“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确，为什么？提示不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段上的A、B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内(公理1)．名师点睛1．平面的概念“平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来的．但是，几何里的平面是理想的，绝对的平且无大小，无厚薄，不可度量．它与平面图形的区别在于：平面图形如三角形、正方形、梯形等有大小，可以度量．2．平面的画法及表示当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长．如图1所示．平面通常用希腊字母α，β，γ等来表示，如平面α，平面β，平面γ等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如图1所示的平面可表示为平面α或平面AC等．今后一般用A，B，C，…，表示点：a，b，c…，表示线；α，β，γ，…，表示平面．几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图2所示中图(1)表示平面β在平面α的上面．图(2)表示平面α在平面β的前面．这样看起来立体感强一些．3．平面的基本性质平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础，每个都必须掌握好．公理1的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面．公理2的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题．公理3的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上．4．立体几何与集合之间符号语言的差异我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数与几何中的差异，首先是运用集合知识了解规定符号的背景，找出它们的区别与联系：(1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用几何语言．例如，A∈α读作“点A在平面α内”；a⊂α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．(2)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定，使用时原则上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合符号略有差异．例如：不再用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而简记为a∩b＝A，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．题型一三种语言的转换【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.[思路探索]根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系画图，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示．解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示：(如图所示)．(2)符号语言表示平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：(如图所示)．规律方法解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注．【变式1】根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解根据条件，画出图形如图．题型二线共面问题【例2】已知：四条直线a、b、c、l，且a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a、b、c和l共面．[思路探索]本题中直线较多，分别呈现“平行、相交”位置关系，由公理2可知，它们都能确定一个平面，所以证明不同平面重合即可．证明∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l⊂α.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β.同理可知l⊂β.∵平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a、b、c和l共面．规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面，②两条平行线确定一个平面，③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合(如本例)．【变式2】过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．证明如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴PA⊂α，PB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α，∴PA，PB，l共面．题型三线共点问题【例3】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．[思路探索]可先证明两条直线相交于一点，再证明该交点也在另外一条直线上．证明连接EF、D1C、A1B，∵E为AB中点，F为AA1的中点，∴EF綉12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E、F、D1、C四点共面．∵EF＝12D1C，∴可设D1F∩CE＝P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴据公理3可得P∈DA，即CE、D1F、DA三线交于一点．规律方法证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．【变式3】如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．证明∵α∩γ＝b，β∩γ＝a∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c,即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．题型四点共线问题【例4】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝M，BC∩α＝N，AC∩α＝P，如图所示．求证：M，N，P三点共线．审题指导[规范解答]∵直线AB∩α＝M，∴M∈AB，M∈α.(2分)又∵AB⊂平面ABC，∴M∈平面ABC.(4分)∴由此可知点M是平面ABC与α的公共点．(6分)∴点M在平面ABC与α的交线上．(8分)同理可证：N，P也在平面ABC与α的交线上．(10分)即M，P，N三点都在平面ABC与α的交线上．∴M，P，N三点共线．(12分)【题后反思】证明若干点共线问题的基本方法是：(1)首先找出两个平面的交线，然后证明若干点都是这两个平面的公共点，根据公理3可推知这些点都在交线上，即若干点共线．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另外一些点都在这条直线上．【变式4】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图．求证：点B、D、P在同一条直线上．证明∵直线EF∩直线GH＝P，∴P∈直线EF.而EF⊂平面ABD，∴P∈平面ABD.同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上．即点B、D、P在同一条直线上．方法技巧分类讨论思想在立体几何中的应用分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则，证明线共面时，要对所有情形逐一讨论，最后归纳总结得出结论．【示例】两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[思路分析]分四线共点，三线共点，无三线共点的三种情形讨论．解(1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，但A∉d，如图(1)所示：∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α，∵A，E∈α，A，E∈a，∴a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.∴a，b，c，d在同一平面α内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图(2)所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，∴c⊂α.同理可证d⊂α.∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．方法点评本题利用了分类讨论的思想，在分类时要确定分类标准，做到不重不漏．