三角函数的诱导公式

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评1.3三角函数的诱导公式上一页返回首页下一页1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)2．诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合运用．(重点)3．各种诱导公式的特征．(易混点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1诱导公式二～公式四阅读教材P23～P24例1以上内容，完成下列问题．1．诱导公式二(1)对应角终边之间对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于_______对称．(2)诱导公式二sin(π＋α)＝__________；cos(π＋α)＝__________；tan(π＋α)＝_______．原点－sinα－cosαtanα上一页返回首页下一页2．诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，－α的终边与角α的终边关于_____对称．(2)诱导公式三sin(－α)＝__________；cos(－α)＝_______；tan(－α)＝___________．3．诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于_______对称．(2)诱导公式四公式四：sin(π－α)＝__________；cos(π－α)＝__________；tan(π－α)＝__________．x轴－sinαcosα－tanαy轴sinα－cosα－tanα上一页返回首页下一页(3)公式一～四可以概括为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的______________，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．同名函数值上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．()上一页返回首页下一页【解析】(1)由公式三可知该结论成立．(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角．(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．(4)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC．【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√上一页返回首页下一页教材整理2诱导公式五、六阅读教材P26第七行以下至“例3”以上内容，完成下列问题．1．公式五：sinπ2－α＝__________，cosπ2－α＝__________．2．公式六：sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝__________．3．公式五和公式六可以概括为：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的符号．公式一～六都叫做诱导公式．cosαsinαcosα－sinα锐角上一页返回首页下一页若cos(π＋α)＝13，则sinπ2＋α＝________.【解析】cos(π＋α)＝－cosα＝13，∴cosα＝－13，sinπ2＋α＝cosα＝－13.【答案】－13上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：上一页返回首页下一页[小组合作型]给角求值问题(1)求下列各三角函数值．①sin－10π3；②cos296π；(2)求sin2nπ＋2π3·cosnπ＋4π3(n∈Z)的值．【精彩点拨】(1)先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．(2)分n为奇数、偶数两种情况讨论．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)①sin－10π3＝－sin10π3＝－sin2π＋4π3＝－sin4π3＝－sinπ＋π3＝sinπ3＝32.②cos296π＝cos4π＋5π6＝cos5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.上一页返回首页下一页(2)①当n为奇数时，原式＝sin2π3·－cos43π＝sinπ－π3·－cosπ＋π3＝sinπ3·cosπ3＝32×12＝34；②当n为偶数时，原式＝sin23π·cos43π＝sinπ－π3·cosπ＋π3＝sinπ3·－cosπ3＝32×－12＝－34.上一页返回首页下一页1．已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值．2．凡涉及参数n的三角函数求值问题．由于n为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．上一页返回首页下一页[再练一题]1．求下列各三角函数值．(1)tan(－855°)；(2)sin176π；(3)cos2nπ＋23π·sinnπ＋43π(n∈Z)．【解】(1)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.上一页返回首页下一页(2)sin176π＝sin2π＋56π＝sin56π＝sinπ2＋π3＝cosπ3＝12.(3)①当n为奇数时，原式＝cos2π3·－sin4π3＝cosπ－π3·－sinπ＋π3＝－cosπ3·sinπ3＝－12×32＝－34.上一页返回首页下一页②当n为偶数时，原式＝cos2π3·sin4π3＝cosπ－π3·sinπ＋π3＝－cosπ3·－sinπ3＝－12×－32＝34.上一页返回首页下一页给值(式)求值问题已知cos(π＋α)＝－12，求cosπ2＋α的值．【精彩点拨】由已知求cosα的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cosπ2＋α的值上一页返回首页下一页【自主解答】∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32.上一页返回首页下一页②若α为第四象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝1－cos2α＝1－122＝32.上一页返回首页下一页1．已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．上一页返回首页下一页[再练一题]2．(1)已知sin56π－α＝a，则sinα＋76π＝()A．aB．－aC．±aD．不确定(2)若cos165°＝a，则tan195°＝()A．1－a2B．－1－a2aC．1－a2aD．1＋a2a上一页返回首页下一页【解析】(1)因为56π－α＋α＋76π＝2π，所以α＋76π＝2π－56π－α，所以sinα＋76π＝sin2π－56π－α＝sin－56π－α＝－sin56π－α＝－a.上一页返回首页下一页(2)cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝a，故cos15°＝－a(a0)，得sin15°＝1－a2，tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝1－a2－a.【答案】(1)B(2)B上一页返回首页下一页利用诱导公式证明三角恒等式求证：tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）cos（α－π）sin（5π－α）＝－tanα.【导学号：00680012】【精彩点拨】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边．上一页返回首页下一页【自主解答】原式左边＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）·cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sinα·（－sinα）·cosαcosα·（－cosα）·sinα＝－sinαcosα＝－tanα＝右边．原式得证．上一页返回首页下一页关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异．上一页返回首页下一页[再练一题]3．已知tan(7π＋α)＝2，求证2cos（π－α）－3sin（3π＋α）4cos（－α）＋sin（2π－α）＝2.【证明】∵tan(7π＋α)＝2，∴tanα＝2，∴2cos（π－α）－3sin（3π＋α）4cos（－α）＋sin（2π－α）＝－2cosα＋3sinα4cosα－sinα＝－2＋3tanα4－tanα＝－2＋3×24－2＝2.上一页返回首页下一页[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想探究1利用诱导公式能否直接写出sin(kπ＋α)的值？【提示】不能．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.上一页返回首页下一页探究2如何化简tank2π＋α呢？【提示】当k为奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，tankπ2＋α＝tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝1－tanα；当k为偶数时，即k＝2n(n∈Z)，tankπ2＋α＝tanα.所以tankπ2＋α＝1－tanα，k为奇数，tanα，k为偶数.上一页返回首页下一页设k为整数，化简：sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]sin[（k＋1）π＋α]cos（kπ＋α）.【精彩点拨】本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式．常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．上一页返回首页下一页【自主解答】法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin（2mπ－α）cos[（2m－1）π－α]sin[（2m＋1）π＋α]cos（2mπ＋α）＝sin（－α）cos（π＋α）sin（π＋α）cosα＝（－sinα）（－cosα）－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝－sin（kπ＋α）[－cos（kπ＋α）]－sin（kπ＋α）cos（kπ＋α）＝－1.上一页返回首页下一页由于k∈Z的任意