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2．3.3直线与平面垂直的性质一、填空1．线面垂直的性质定理：，用数学符号表示为.2．a⊥α，a⊥β，则αβ.3．a⊥α，α∥β则aβ.4．a∥b，b⊥α，则aα.垂直于同一平面的两条直线互相平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b∥⊥⊥二、判断正误(1)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直．(2)已知平面α和直线a、b，若a∥α，b⊥a，则b⊥α.[解析](1)错．平面内与这条直线的射影垂直的直线与此直线垂直．(2)错．正四棱台如图．b为上底面一边或斜高时都有b⊥a，但b与下底面α不垂直．本节学习重点：直线与平面垂直的性质．本节学习难点：线线垂直与面面垂直的转化．直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表：类别判定方法用判定定理用推论用定义图形条件c⊂α，b⊂αc∩b＝Pa⊥c，a⊥ba∥bb⊥αb是α内任一条直线a⊥b结论a⊥α类别性质方法性质定理定义图形条件a⊥αb⊥αa⊥αb⊂α结论a∥ba⊥b类别其它结论方法图形条件a⊥αa⊥βa⊥αα∥βa⊥αP∈αPA⊥a结论α∥βa⊥βPA⊂α[例1]如图，设平面α与β相交于直线l，AC⊥α，BD⊥β，垂足分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD，求证：AB∥l.[解析]∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l；过A作AE⊥β垂足为E，则AE∥BD，∵AB⊥BD，∴AB⊥AE，∴AB⊥平面ACE；∵AE⊥β，α∩β＝l，∴AE⊥l，又AC⊥l，∴l⊥平面ACE，∴AB∥l.[点评]要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开．如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：(1)AE⊥SB；(2)AG⊥SD.[分析]要证AE⊥SB，可先假定AE⊥SB已经成立，结合条件SC⊥平面AEFG可知AE⊥平面SBC，从而AE⊥BC，又BC⊥AB，故BC⊥平面SAB，这样实际证明时，应先从已知条件SA⊥平面ABCD入手证得BC⊥平面SAB，后证AE⊥平面SBC.[证明](1)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE.又∵SC∩BC＝C，∴AE⊥平面SBC.∵SB⊂平面SBC，∴AE⊥SB.(2)∵SA⊥平面ABCD，∴CD⊥SA，又CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD，∵AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AG.又∵SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC.又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在直线BD、B1C上，且MN⊥BD，MN⊥B1C，求证：MN∥AC1.[分析]已知MN⊥BD，MN⊥B1C，而B1C与BD是异面直线，可考虑先平移其中一条(B1C∥A1D)得到线面垂直．结合正方体中存在众多垂直关系，问题实质是已知线面垂直关系证线线平行可考虑用性质，如果能推得AC1⊥平面A1BD，问题获解．由BD⊥AC，BD⊥C1C可得，BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1.同理A1D⊥AC1.[解析]连接A1D、A1B∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，∵MN⊥B1C，∴MN⊥A1D，又MN⊥BD，∴MN⊥平面A1BD，∵BD⊥AC且BD⊥C1C∴BD⊥平面ACC1∴BD⊥AC1又A1D⊥AD1且A1D⊥C1D1∴A1D⊥平面AC1D1∴A1D⊥AC1∴AC1⊥平面A1DB∴AC1∥MN.[例3]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为AB、C1D1的中点，求直线A1B1和平面A1ECF所成的角的正切．[分析]求线面角的关键是找出直线在平面上的射影，为此由直线A1B1上一点向平面A1ECF作垂线，但垂足在什么位置呢？故欲作垂线，可先作垂面．[解析]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵FC1綊EB，∴EF∥C1B.又∵C1B⊥B1C.C1B⊥A1B1，∴C1B⊥平面A1B1C，∴EF⊥平面A1B1C，∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.交线为A1C.作B1H⊥A1C，则B1H⊥平面A1CF.∴A1C为A1B1在平面A1ECF上的射影．∴∠B1A1C即为直线A1B1和平面A1ECF所成的角．[例4]如图，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ABD上一点．在面ABD内过点P画一条与棱AC垂直的线段，应怎样画？说明你的理由．[解析]取BD中点E，∵几何体为正三棱锥，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC.故在平面ABD内，欲过P点作与棱AC垂直的线段，只须过P作MN∥BD分别交AB、AD于M、N，则线段MN⊥AC，MN即所求．[例5]已知直线a∥平面α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，a到平面α的距离为4，a与b距离为5，b与c距离为6，则a与c的距离为()[错解]如图，在直线a上取点A，过A作直线AB⊥α，垂足为B，作直线BD⊥b于D，交c于E，由条件知，AB＝4，∵BD⊥b，由AB⊥α知AB⊥b，∴b⊥平面ABD，∴b⊥AD，∴AD＝5，∵b∥c，BD⊥b，∴BD⊥c，∴DE＝6，在Rt△ABD中得BD＝3，∴BE＝9，∴AE＝AB2＋BE2＝97.∵b⊥平面ABD，∴c⊥平面ABD，∵AE⊂平面ABD，∴c⊥AE，∴a⊥AE，∴a与c距离为97，故选B.[辨析]考虑问题不周到，由题设的条件知，当在直线a上取点A，作AB⊥α时，垂足B可能在b、c之间，也可能在两侧，故应讨论．[正解]在直线a上取点A，过A作直线AB⊥α，垂足为B，则平行线b、c可能在点B的同侧，也可能在两侧．1°当b、c在点B同侧时，若在靠近b的一侧，如原解答，a与c距离为97，易知不可能在靠近c的一侧．2°当b、c在点B的异侧时，如图，过B作直线DE⊥b交b于D，交c于E，易证AD⊥b，AE⊥c，∴AD＝5，DE＝6，又AB＝4，∴DB＝3，∴BE＝3，∴AE＝5.综上可知a与c的距离为5或97，故选D.一、选择题1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内()A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任意一条都与l垂直[答案]C[解析]若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．2．过一点和已知平面垂直的直线条数为()A．1条B．2条C．无数条D．不能确定[答案]A[解析]已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．二、解答题3．(09·湖南文)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．[解析](1)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知，AA1⊥平面ABC.又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1.而DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1.(2)过点A作AF垂直A1E于点F，连接DF.由(1)知，平面A1DE⊥平面ACC1A1.所以AF⊥平面A1DE，故∠ADF是直线AD和平面A1DE所成的角．因为DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC，而△ABC是边长为4的正三角形，于是AD＝23，AE＝4－CE＝4－12CD＝3.又因为AA1＝7，所以A1E＝AA21＋AE2＝(7)2＋32＝4，AF＝AE·AA1A1E＝374，sin∠ADF＝AFAD＝218.即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为218.