3.2.2直线的两点式方程

3.2.2直线的两点式方程形式条件直线方程应用范围点斜式直线过点(x0,y0),且斜率为k斜截式在y轴上的截距为b,且斜率为k)(00xxkyybkxy不含与x轴垂直的直线不含与x轴垂直的直线知识回顾：已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),求直线l的方程.xxxxyyyy121121——直线方程的两点式).(112121xxxxyyyy化简为1212xxyyk由点斜式方程得∵2xxxxyyyy121121直线方程的两点式：)(2121xxyy且若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1＝y2,此时这两点的直线的方程是什么？l:x=x1l:y=y1例1直线l与x轴的交点是A(a,0)，与y轴的交点是B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.解：两点，代入两点式，经过直线),0()0,(bBaAl,000aaxby得.1byax即这里a叫做直线在x轴上的截距（横截距），1byax——直线方程的截距式b叫做直线在y轴上的截距（纵坐标）.xyOABl1byax直线方程的截距式：)0,0(ba注意：截距可以取全体实数，但截距式方程中的截距，是指非零的实数，点的直线方程，因此截距式方程不包括过原不包括与坐标轴垂直的直线方程.xyO形式条件方程点斜式直线过定点P(x0,y0)且斜率为k斜截式直线斜率为k且在y轴上的截距为b两点式直线过两定点P1(x1y1),P2(x2,y2)截距式直线在y轴上截距为b,在x轴上的截距为axxxxyyyy1211211byax)(00xxkyybkxy解：例2.三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程.(1)由已知得，BC边的中点)21,23(M∵BC边上的中线过点A、M,∴BC边上中线所在直线的方程为:52350210xy即.0513yx解：例2.三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程.(2)由AB边上高线过C(0，2)，且垂直于AB,故AB边上高线所在直线的方程:ABkk1高线的斜率为，38823yx解：例2.三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程.(3)∵AC边上中垂线过AC边的中点),1,25(N且垂直于AC,ACkk1垂线的斜率为，25∴AC边上中垂线所在直线的方程为：)25(251xy即.021410yxN课堂练习：教材第97页1~31.写出过下列两点的直线的两点式方程：（1）P1(2,1)，P2(0,－3)；（2）A(0,5)，B(5,0).202131xy050505xy答案：（1）（2）032yx即05yx即2.根据下列求直线的方程，并画出图形：（1）在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3；（2）在x轴上的截距是－5，在y轴上的截距是6.0623yx03056yx132yx165yx答案：（1）即（2）即xyOyxO3.根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(0,5)，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点(5,0)，且在两坐标轴上的截距之差为2.答案：（1）153yx01535yx即（2）135yx或175yx即01553yx或03557yx。边中线所在直线的方程，求重心的的两个顶点已知例ABGABCBAABC)1,1(),1,2(),0,3(.3解：,,）（设baC1311323ba则有,2,2ba解得.22），（即C,)1,1(GABC的重心又,121121xy所以AB边中线所在直线方程为0xy即。边中线所在直线的方程，求重心的的两个顶点已知例ABGABCBAABC)1,1(),1,2(),0,3(.3另解：,)21,21(MAB中点边中线所在的直线方程由直线方程的两点式得AB,)21(1)21(21121xy.0yxAB为边中线所在的直线方程所以∵AB边中线过AB边中点M和△ABC的重心，，的重心)1,1(GABC例4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．因此直线l不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0．解法一：由于直线l在两轴上有截距，可设直线方程为)3(2xky，令0x，则23ky，则kx23，令0y由题设可得kk2323.321或kl在y轴上有截距为.23kbl在x轴上有截距为.23ka∴直线l的方程为)3(2xy)3(322xy或或即05yx.032yx例4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．解法二：1ayax由已知可设直线l方程为)0(a则由直线l经过点(3，2)得123aa.5a∴直线l的方程为.05yx，若0a则直线l经过点(0，0),又直线l经过点(3，2)，xy32∴直线l的方程为.032yx即综上所述直线l的方程为或05yx.032yx，320302lk程。最小时，求此直线的方两坐标轴上的截距之和半轴相交，当直线在）作直线与两坐标轴正，（过点例41.5P解：),0,0(1babyax设直线方程为),4,1(P直线过点141babaabba45abba4259abba4当，达到最小值时，即96,3baba,163yx此时直线的方程为.062yx即)41)((baba，且)0,0(141baba解：,4,013yyxx得代入直线方程把)4,3(P,1k.450，的倾斜角为直线01359045l.1135tanlk即).3(4xyl的方程：由点斜式得直线.07yx即6.103xyp例直线上一点的横坐标是，把已知直线绕p点逆时针旋转90后得到直线l,求直线l的方程。例7.求直线的倾斜角的取值范围．023cosyx解：分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可．由直线的方程323cosxy得斜率3cosk,01cos13333k50,,66小节：xxxxyyyy121121)(2121yyxx且1两点式.1byax2截距式)0,0(ba