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一、计算~(一)分数裂项-知识点：1、裂差公式：111)1(1nnnn)11(1)(1knnkknn))2)(1(1)1(1(21)2)(1(1nnnnnnn2、裂和公式：ababba11二、例题：例1：1009911211111101例2：999611291961631例3：10099981543143213211例4：11011020141213612211例5：1009932114321132112111例6：222222228715437325213例7：10199507535323112222例:8：“！”表示一种运算符号，它的含义是2！=2×1；3！=3×2×1；，计算！！！！10099544332例9：42133011209127657653练习：1、204811024116181412112、3136151764139001140091447365433、)511411311211()411311211111()411311211()511411311211111(4、132111019017215614213015、86455945374520458451456、10982987287627652654254327、比较分数大小：(1)分数3091031244094171575，，，，中，哪一个最大？(2)从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？45223017181110965125157，，，，，，；(3)若A=222201420132014201311201420131B，，比较A与B的大小。(4)比较201320092011201220112014201320092012201220112013与一、计算~(二)常用计算公式知识点：1、等差数列：项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+（项数+1）×公差求和=（首项+末项）×项数÷2当等差数列为奇数项时，可以用中间项定理：和=中间项×末项（1）2)12(531nn（2）2123321nn2、平方和公式：)12)(1(613212222nnnn3、立方和公式：222333)1(41)21(21nnnn4、平方公式（1）平方差公式))((22bababa（2）完全平方和（差）公式2222)(bababa二、习题：1、22222212979899100、××、2222200121110、22222221614135421、201632120163213333、3333333315131197531、123891098321)9931()10042(222222、150953972991、1281136411132191617815413211一、计算~(三)小数和分数的互化1、纯循环化成分数：循环节有几位小数，则分母有几个9，分子就是循环节。2、混循环小数化分数：分母9的个数=循环节小数位数，分母0的个数=非循环节小数位数，分子=分数部分-非循环部分小数。3、神秘组织：142857是分母是7的分数的循环节数字，分子是1的，第一位是最小的，按此规律排列。例：0.01＋0.12＋0.23＋0.34＋0.78＋0.89例2：13117)8.08.80(例：将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？例：冬冬将123.0乘以一个数时，看丢了一个循环点，使得乘积比结果减少了30.0，正确结果应该是多少？一、计算~(四)进制问题1、常见进制：二进制、十进制、十二进制、十六进制、二十四进制、六十进制.2、二进制：只使用数字0、1，在计数与计算时必须是“满二进一”，例如，(9)10＝(1001)23.十进制转n进制：短除、取余、倒写.例如：(1234)10=(1200201)34.n进制转十进制：写指、相乘、求和。例如:(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=(11)105.关于进位制⑴本质：n进制就是逢n进一；⑵n进制下的数字最大为(n-1),超过9用大写字母代替。例1：⑴将(2009)10写成二进制数⑵把十进制数2008转化为十六进制数；例2：把下列各数转化成十进制数：⑴(463)8；⑵(2BA)12；⑶(5FC)16.例3：①(101)2(1011)2(11011)2(）2②(11000111）2(10101）2(11）2(）2③(3021)4(605)7()10④(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8)8()8例4：用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade),(adc),(aab)是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少？二、计数原理~(一)容斥原理：专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。1、(两张饼)原理一：大饼=A+B-AB2、(三张饼)原理二：大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC口诀：奇层加，偶层减。3、原则：①消重；②不消不重；4、考点：①直接考公式；②直接考图形；③锅内饼外=全部-大饼上的数量；④三叶草=AB+AC+BC-ABC5、解题方法：①文氏图法；②方程法；③反推法；例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。练习1：网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的有多少人？练习2：网校老师60人组织春游。报名去香山的有37人，报名去鸟巢的有42人，两个地点都没有报名的有8人，那么只报名其中一个地点的有多少人？例2：在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？练习1：学校组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？练习2：五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数？例3：网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？（锅内饼外）练习1：在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？二、计数原理~(二)加乘原理：1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。3、区分两原理：要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。例1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？例2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有多少个？例3：一个七位数，其数码只能为1或3，且无两个3是邻的。问这样的七位数共有多少个？例4：在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？三、加乘原理——标数法、递推法①标数法与递推法都是加法原理②按最后一步进行分类，做加法③标数时要注意限制条件④分平面问题要确定交点个数例1：如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？例2：在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共有多少种方法？例3：一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？例4：一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最多把平面分成几部分？二、计数原理~(三)概率1、随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现，但是具有规律性的事件。2、概率：随机事件可能发生的可能性的度量，一般用P来表示，特例：必然事件：P=1；不可能事件：P=0；3、独立事件：事件1是否发生对事件2发生的概率无影响；4、互斥事件：不可能同时发生的两件事件；5、对立事件：两个互斥事件必有一个发生；6、概率的计算：nmAP)(n表示试验中发生所有情况的总数，m表示事件A发生的次数。7、概率具有可乘性。计算概率的基础：计数、枚举、加乘原理、排列组合。例1：一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色，每种花色各拿出2张，现在从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？例2：编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是多少？例3：A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，这六人被抽中的概率分别为多少？例4：一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是多少？二、计数原理~(四)排列组合1、排列：从n个不同元素中选出m个，按照一定的顺序排列，记为：Anm=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)可以理解为从n开始乘，一共乘m个。特殊要求，优先满足：（1）捆绑法：必须在一起；（2）优先满足法：特殊位置或特殊元素；（3）插空法：不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再在空里插必须要分开的元素。（4）排除法：正难则反；2、组合：从n个不同元素中选出m个，不需要按顺序排列，记为：Cnm=(n-1)(n-2)(n-3)