阿波罗尼斯圆及其应用

1阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点BA,，设P点在同一平面上且满足,PBPA当0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：BA,为两已知点，QP,分别为线段AB的定比为)1(的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到BA,两点的距离之比为.证（以1为例）设QBAQPBAPaAB,，则1,1,1,1aBQaAQaPBaAP.由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222aBCABACaBQPBBC于是,1,122aACaBC.BCAC而CQP,,同时在到BA,两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O上任意一点到BA,两点的距离之比恒为.性质1.当1时，点B在圆O内，点A在圆O外；当10时，点A在圆O内，点B在圆O外。性质2.因AQAPAC2，过AC是圆O的一条切线。若已知圆O及圆O外一点A，可以作出与之对应的点,B反之亦然。性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122aPQ，面积为.122a性质4.过点A作圆O的切线CAC(为切点），则CQCP,分别为ACB的内、外角平分线。性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦,EF则AB平分.EAF2数学应用例1已知P是圆22:25Oxy上任意一点，平面上有两个定点(10,0)M，13(,3)2N，则12PNPM的最小值为_____________解析：取点5(,0)2Q，易知对于圆22:25Oxy上任意一点P，均有12PQPM，所以12PNPMPNPQNQ，当且仅当N，P，Q三点共线，且P在NQ之间，最小值为5.典型高考试题1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(ccBcA为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值),0(aa求点P的轨迹.2.（05江苏）圆1O和圆2O的半径都是1，421OO，过动点P分别作圆1O和圆2O的切线NMPNPM,(,分别为切点），使得PNPM2，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(BA如果动点P满足PBPA2，则点P的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BCACAB2,2的ABC面积的最大值是___________.5.在等腰ABC中，BDACAB,是腰AC上的中线，且,3BD则ABC面积的最大值是___________.6.已知PA),0,2(是圆16)4(:22yxC上任意一点，问在平面上是否存在一点B，使得?21PBPA若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22yxC，问在x轴上是否存在点A和点B，使得对于圆C上任意一点P，都有?21PBPA若存在，求出BA,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC中，ADACAB,2是A的平分线，且.kACAD（1）求k的取值范围；（2）若ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.