数学建模—农作物施肥的优化设计

大学生数学建模题目：施肥效果分析学院电气工程学院班级组号姓名姓名姓名姓名姓名农作物施肥的优化设计摘要本文在合理的假设之下，通过对实验数据的分析，建立了能够反映施肥量与农作物产量的关系模型，据此求得在保证一定产量的同时，施用肥料最少。首先是对实验数据进行了较为直观的分析，可知N肥、P肥、K肥施加不同量均对土豆、生菜的产量造成一定影响，且施N肥过多会烧苗，会使土豆和生菜减产。其次，模型一，我们对实验数据运用Excel进行拟合，得到各肥料的施肥量与产量的拟合曲线，从而获得对应函数表达式。但由于无法对模型进行误差分析，我们再次运用一元多项式回归方法建立模型进行求解，此时得到不同肥料的施肥量与产量的关系。然后，模型二，利用Matlab软件建立模型，求出N肥、P肥、K肥的施肥量关于土豆及生菜的最优解：当氮的施肥量为290.2542时使得土豆产量达到最优解为43.34615;当磷的施肥量为303时使得土豆产量达到最优解为42.7423；当钾的施肥量为36.0742时使得土豆产量达到最优解为44.51718。当氮的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615；当磷的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615；当钾的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615。最后我们就应用价值方面对模型做出改进。由于实验数据中各个自变量与因变量之间并不是一一对应的关系，所以没有得出各肥料的施肥量与产量的交叉关系，仅得到单一变量的对应关系。关键字：一元多项式回归Excel拟合Matlab1一、问题的提出某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。土豆：NPK施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614039.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜：NPK施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3314016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.402二、问题的分析利用散点图对所拟合问题的曲线类型做出判断。当需要拟合的两变量之间的函数关系式，首先要确定所求函数对应曲线的类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。三、问题的假设与符号说明2.1模型的合理假设（1）土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力。（2）每次实验是独立进行的，互不影响。（3）研究所的实验是在相同的实验条件(实验结果不受温度，水，光照等因素影响)下进行的，产量的变化是由施肥量的变化引起的。（4）当一个营养素的施肥量变化时，另两个营养素的施肥量总保持在第七水平上不变。（5）所给数据中无较大偏差点，无需剔除。2.2模型的符号说明y：土豆产量1n：对于土豆氮的施肥量1p：对于土豆磷的施肥量1k：对于土豆钾的施肥量x：生菜产量2n：对于生菜氮的施肥量2p：对于生菜磷的施肥量2k：对于生菜钾的施肥量3四、模型的建立与求解土豆的产量与施肥量的散点图如下：土豆产量－氮施肥量散点图土豆产量－磷施肥量散点图4土豆产量－钾施肥量散点图生菜的产量与施肥量的散点图如下：生菜产量－氮施肥量散点图5生菜产量－磷施肥量散点图生菜产量－钾施肥量散点图所用matlab程序为：k1=xlsread('E:\《数学建模课程设计》实验报告6\shuju','sheet1','$L$3:$L$12');y31=xlsread('E:\《数学建模课程设计》实验报告\shuju','sheet1','$M$3:$M$12');plot(k1,y31,'+')由散点图猜测土豆产量y与氮施肥量1n的关系式为：111211cnbnay；y与磷施肥量1p的关系式为：212212cpbpay；y与钾施肥量1k的关系式为：13331kaeebay由matlab解出：a1=-0.0003b1=0.1971c1=14.7416a2=-0.0001b2=0.0719c2=32.9161a3=42.7b3=0.56c3=0.01土豆产量与施肥量的关系图：7最佳施肥方案为第一个方案（328.44,245,465）所用程序为：8clearclca1=-0.0003;b1=0.1971;c1=14.742;a2=-0.0001;b2=0.0719;c2=32.916;a3=42.7;b3=0.56;c3=0.01;n=0:0.01:393;p=0:0.01:686;k=0:0.01:652;y1=(a1*n.*n+b1*n+c1)*800;y11=max(y1)fori=1:length(n)ifabs(y1(i)-y11)=0.001q1=n(i)breakendendy2=(a2*n.*n+b2*n+c2)*800;y22=max(y2)fori=1:length(p)ifabs(y2(i)-y22)=0.001q2=p(i)breakendendy3=a3*(1-b3*exp(-c3*k));y33=max(y3)fori=1:length(k)ifabs(y3(i)-y33)=0.001q3=k(i)break9endend运算后的结果如下：生菜产量与施肥量关系：由散点图猜测生菜产量x与施肥量2n的关系式为：121221cnbnaxx与磷肥的量2p的函数为：222222cpbpaxx与钾肥的量2k的函数为：23331kcebax由matlab解出：a1=-0.0002b1=0.1013c1=10.2294a2=-0.0001b2=0.0606c2=6.8757a3=15.8878b3-0.0440c3=0.0026关系图为：1011最佳施肥方案为第一个方案（253.18,245,465）所用程序为：clearclca1=-0.0002;b1=0.1013;c1=10.2294;a2=-0.0001;b2=0.0606;c2=6.8757;a3=15.8878;b3=-0.0440;c3=0.0026;n=0:0.01:393;p=0:0.01:686;k=0:0.01:652;y1=(a1*n.*n+b1*n+c1)*800;y11=max(y1)fori=1:length(n)ifabs(y1(i)-y11)=0.001q1=n(i)breakendend12y2=(a2*n.*n+b2*n+c2)*800;y22=max(y2)fori=1:length(p)ifabs(y2(i)-y22)=0.001q2=p(i)breakendendy3=a3*(1-b3*exp(c3*k));y33=max(y3)fori=1:length(k)ifabs(y3(i)-y33)=0.001q3=k(i)breakendend运行结果如图：五、模型的优缺点与改进方向5.1模型的优点（1）本模型运用回归分析的方法求解，理论可得最优解。（2）模型是独立的模型进行逐步回归。13（3）利用Matlab编程,曲线估计较成功地解决了施肥最佳方案问题,方法简练,道理清晰,结果可信。曲线估计得到较合适的曲线，最终得到拟合曲线函数表达式。5.2模型的缺点在实际工作中,三种肥料之间除了与产量有直接的数量关系外,还有彼此之间的交互作用。因此,本模型只是一个初步的探讨,要得到三种营养素与产量之间的准确关系,应该在实验之初就采取正交实验或均匀设计的方法,得到更有价值的实验数据,从而更好的把握变量间的数量关系,以达到直到农业生产实践的目的。5.3模型的改进该模型只对N、P、K的施肥量和产量进行了分析，还应考虑N、P、K的肥料售价和土豆、生菜每吨的售价，从而获得更高的收益。根据实际情况，当施肥料带来的收入比用于购买肥料的费用多时，应该多施肥，否则少施肥。参考文献[1]熊卫国.数学实验教程[M].广东:中山大学出版社.2006[2]李玉莉.MATLAB函数速查手册[M].北京:化学工业出版社.2010[3]姜启源谢金星.数学模型[M].北京.高等教育出版社.2010[4]马莉.Matlab数学建模与实验.清华出版社[5]冯杰.数学建模原理与案例.科学出版[6]董臻圃.数学建模方法与实践.国防工业出版社