圆周运动习题及答案

1《圆周运动》练习（二）1.如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg2．如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()A．Mg－5mgB．Mg＋mgC．Mg＋5mgD．Mg＋10mg3．如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点所用的时间相等．则下列说法中正确的是()A．质点从M到N过程中速度大小保持不变B．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同C．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同D．质点在M、N间的运动不是匀变速运动4．如图所示，质量相同的钢球①、②分别放在A、B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a、b轮半径之比为1∶2.当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力大小之比为()A．2∶1B．4∶1C．1∶4D．8∶15．利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如图所示，用两根长为L的细线系一质量为m的小球，两线上端系于水平横杆上的A、B两点，A、B两点相距也为L，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运动到最低点时，每根线承受的张力为()A．23mgB．3mg2C．2.5mgD.73mg26．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是()A.5rad/sB.3rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s7.如图所示，在竖直平面内有xOy坐标系，长为l的不可伸长细绳，一端固定在A点，A点的坐标为(0，l2)，另一端系一质量为m的小球．现在x坐标轴上(x0)固定一个小钉，拉小球使细绳绷直并呈水平位置，再让小球从静止释放，当细绳碰到钉子以后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动．(1)当钉子在x＝54l的P点时，小球经过最低点时细绳恰好不被拉断，求细绳能承受的最大拉力；(2)为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，而细绳又不被拉断，求钉子所在位置的范围．8.如图所示，一小物块自平台上以速度v0水平抛出，刚好落在邻近一倾角为α＝53°的粗糙斜面AB顶端，并恰好沿该斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.032m，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A点离B点所在平面的高度H＝1.2m．有一半径为R的光滑圆轨道与斜面AB在B点相切连接，已知cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，g取10m/s2.求：(1)小物块水平抛出的初速度v0是多少；(2)若小物块能够通过圆轨道最高点，圆轨道半径R的最大值．39.如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；(2)某游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝mv2R)10．如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面的倾角．板上一根长为l＝0.6m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3m/s.若小球能在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内(取重力加速度g＝10m/s2)?11．半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点．在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图所示．若小球与圆4盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距O的高度h＝________，圆盘转动的角速度大小ω＝________.12．一长l＝0.80m的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.10kg的小球，悬点O距离水平地面的高度H＝1.00m．开始时小球处于A点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图所示．让小球从静止释放，当小球运动到B点时，轻绳碰到悬点O正下方一个固定的钉子P时立刻断裂．不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝10m/s2.求：(1)当小球运动到B点时的速度大小；(2)绳断裂后球从B点抛出并落在水平地面上的C点，求C点与B点之间的水平距离；(3)若OP＝0.6m，轻绳碰到钉子P时绳中拉力达到所能承受的最大拉力断裂，求轻绳能承受的最大拉力．5答案1.答案AC解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mω2al，当fa＝kmg时，kmg＝mω2al，ωa＝kgl；对木块b：fb＝mω2b·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb＝kg2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fafb，选项B错误；当ω＝kg2l时b刚开始滑动，选项C正确；当ω＝2kg3l时，a没有滑动，则fa＝mω2l＝23kmg，选项D错误．2.答案C解析设大环半径为R，质量为m的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以12mv2＝mg·2R.小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2gR，根据牛顿第二定律得FN－mg＝mv2R，所以在最低点时大环对小环的支持力FN＝mg＋mv2R＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力FN′＝FN＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力T＝Mg＋FN′＝Mg＋5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg，故选项C正确，选项A、B、D错误．3.答案B解析由题图知，质点在恒力作用下做一般曲线运动，不同地方弯曲程度不同，即曲率半径不同，所以速度大小在变，所以A错误；因是在恒力作用下运动，根据牛顿第二定律F＝ma，所以加速度不变，根据Δv＝aΔt可得在相同时间内速度的变化量相同，故B正确，C错误；因加速度不变，故质点做匀变速运动，所以D错误．4.答案D解析皮带传送，边缘上的点线速度大小相等，所以va＝vb，因为a轮、b轮半径之比为1∶2，根据线速度公式v＝ωr得：ωaωb＝21，共轴的点，角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，则ω1ω2＝21.根据向心加速度a＝rω2，则a1a2＝81，由F＝ma得F1F2＝81，故D正确，A、B、C错误．5.答案A解析小球恰好过最高点时有：mg＝mv21R解得v1＝32gL①根据动能定理得：mg·3L＝12mv22－12mv21②由牛顿第二定律得：3T－mg＝mv2232L③6联立①②③得，T＝23mg故A正确，B、C、D错误．6.答案C解析当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r解得ω＝1.0rad/s，故选项C正确．7.审题突破(1)由数学知识求出小球做圆周运动的轨道半径，由机械能守恒定律求出小球到达最低点时的速度，然后由牛顿第二定律求出绳子的拉力．(2)由牛顿第二定律求出小球到达最高点的速度，由机械能守恒定律求出钉子的位置，然后确定钉子位置范围．解析(1)当钉子在x＝54l的P点时，小球绕钉子转动的半径为：R1＝l－l22＋x2小球由静止到最低点的过程中机械能守恒：mg(l2＋R1)＝12mv21在最低点细绳承受的拉力最大，有：F－mg＝mv21R1联立求得最大拉力F＝7mg.(2)小球绕钉子做圆周运动恰好到达最高点时，有：mg＝mv22R2运动中机械能守恒：mg(l2－R2)＝12mv22钉子所在位置为x′＝l－R22－l22联立解得x′＝76l因此钉子所在位置的范围为76l≤x≤54l.答案(1)7mg(2)76l≤x≤54l8.解析(1)小物块自平台做平抛运动，由平抛运动知识得：vy＝2gh＝2×10×0.032m/s＝0.8m/s(2分)由于物块恰好沿斜面下滑，则tan53°＝vyv0(3分)得v0＝0.6m/s.(2分)(2)设小物块过圆轨道最高点的速度为v，受到圆轨道的压力为N.则由向心力公式得：N＋mg＝mv2R(2分)由动能定理得：mg(H＋h)－μmgHcos53°sin53°－mg(R＋Rcos53°)＝12mv2－12mv20(5分)小物块能过圆轨道最高点，必有N≥0(1分)联立以上各式并代入数据得：7R≤821m，即R最大值为821m．(2分)答案(1)0.6m/s(2)821m9.答案(1)2gR－(mgH－2mgR)(2)23R解析(1)游客从B点做平抛运动，有2R＝vBt①R＝12gt2②由①②式得vB＝2gR③从A到B，根据动能定理，有mg(H－R)＋Wf＝12mv2B－0④由③④式得Wf＝－(mgH－2mgR)⑤(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有mg(R－Rcosθ)＝12mv2P－0⑥过P点时，根据向心力公式，有mgcosθ－N＝mv2PR⑦N＝0⑧cosθ＝hR⑨由⑥⑦⑧⑨式解得h＝23R⑩10.答案α≤30°解析小球在板面上运动时受绳子拉力、板面弹力、重力的作用．在垂直板面方向上合力为0，重力在沿板面方向的分量为mgsinα，小球在最高点时，由绳子的拉力和重力分力的合力提供向心力：T＋mgsinα＝mv21l①研究小球从释放到最高点的过程，据动能定理：－mglsinα＝12mv21－12mv20②若恰好通过最高点绳子拉力FT＝0，联立①②解得：sinα＝v203gl＝323×10×0.6＝12.故α最大值为30°，可知若小球能在板面内做圆周运动，倾角α的值应满足α≤30°.811.答案gR22v22nπvR(n＝1,2,3，…)解析小球做平抛运动，在竖直方向：h＝12gt2①在水平方向R＝vt②由①②两式可得h＝gR22v2③小球落在A点的过程中，OA转过的角度θ＝2nπ＝ωt(n＝1,2,3，…)④由②④两式得ω＝2nπvR(n＝1,2,3，…)12.答案(1)4m/s(2)0.80m(3)9N解析(1)设小球运动到B点时的速度大小为vB，由机械能守恒定律得12mv2B＝mgl解得小球运动到B点时的速度大小vB＝2gl＝4m/s(2)小球从B点做平抛运动，由运动学规律得x＝vBty＝H－l＝12gt2解得C点与B点之间的水平距离x＝vB2H－lg＝0.80m(3)若轻绳碰到钉子时，轻绳拉力恰好达到最大值Fm，由牛顿定律得Fm－mg＝mv2Brr＝l－OP由以上各式解得Fm＝9N