高中数学-4.2.2圆与圆的位置关系课件-新人教A版必修2

第四章圆与方程第二节直线、圆的位置关系圆与圆的位置关系自学导引1.知道两圆间的位置关系有:外离､外切､相交､内切､内含5种.2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的位置关系.3.初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.课前热身一般地,设圆C1和C2的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=那么,当dr1+r2时,两圆________.当d=r1+r2时,两圆________.当|r1-r2|dr1+r2时,两圆________.当d=|r1-r2|时,两圆________.当0≤d|r1-r2|时,两圆________.221212()().xxyy外离外切相交内切内含名师讲解1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r位置关系的常用方法:两圆C1､C2外离⇔|C1C2|r1+r2;两圆C1、C2外切⇔|C1C2|=r1+r2;两圆C1､C2相交⇔|r1-r2||C1C2|r1+r2;两圆C1、C2内切⇔|C1C2|=|r1-r2|;圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2||r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.2122•(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:•第一步:将两圆的方程化为标准方程;•第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);•第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.•2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法•跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.典例剖析题型一圆与圆的位置关系例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切;(2)内切.分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.•解:将两圆方程写成标准方程•(x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4.•设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.•(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或2.•(2)当d=1即2a2+6a+5=1时,两圆内切,解得a=-1或a=-2.•规律技巧:解决两圆的位置关系,运用几何方法(圆心距与半径的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单.变式训练1:⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断⊙A和⊙B是否相交,若相交,求过两交点的直线的方程;若不相交,说明理由.•分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径和､差与圆心距间关系即可.•解:⊙A的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9,•⊙B的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4,•∴两圆心之间的距离满足3-2|AB|=•即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.•∴两圆相交.•⊙A的方程与⊙B的方程左､右两边分别相减得-4x-4y-5=0.即4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程.22(11)(11)2232,•题型二与两圆相切有关的问题•例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线相切于点的圆的方程.•分析:先设出圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),利用题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可.30xy(3,3)•解:设所求圆的方程为•(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),•将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1)2+y2=1,由题意可得规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的方程组求解.变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程.•解:设所求圆的半径为r,•则•∴r=3或r=13,•故所求圆的方程为•(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169.223(4)|8|,r•题型三与两圆公共弦有关的问题•例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.•分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.•解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A､B两点坐标是方程组•①-②得3x-4y+6=0.•∵A､B两点坐标都满足此方程,•∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.•易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.•规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.•变式训练3:判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切线的条数.•分析:先判断两圆位置关系.•解:由题意得:将圆C1化为标准方程:•(x-1)2+(y-3)2=16.•将圆C2化为标准方程:(x-2)2+(y+1)2=1.•得圆C1的圆心坐标C1(1,3),半径r1=4.•圆C2的圆心坐标C2(2,-1),半径r2=1,22|12|(12)(31)17.CC•又r1+r2|C1C2|r1-r2,•即两圆相交.•∴圆C1与圆C2有两条公切线.•易错探究•例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.•错解:设所求圆的圆心C(a,b),则•由①②解得a=5,b=-1.•∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解.•正解:设所求圆的圆心C(a,b),则•①•(1)当两圆外切时,有②•由①②解得a=5,b=-1.•∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.22(4)(1)1,ab22(2)(1)3,ab•(2)若两圆内切,则有③•由①③解得a=3,b=-1.•∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.•综上所述,所求圆的方程为•(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.22(2)(1)1,ab技能演练基础强化1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切解析:圆:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圆心C1(1,0),半径r1=1.圆:x2+y2+4y=0,配方x2+(y+2)2=4,圆心C2(0,-2),半径r2=2.圆心距|C1C2|=r1+r2=3,∴两圆相交.答案:C52.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值是()•答案:D.10.510.5.2ABCD22(03)(01)102.10.2:rr解析圆心距•3.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有()•A.1条B.2条•C.3条D.4条•解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C1(2,-1),半径r1=2.圆x2+y2+4x-4y-1=0(x+2)2+(y-2)2=9,圆心C2(-2,2),半径r2=3.•∵|C1C2|==5=r1+r2.•∴两圆相外切,∴公切线有3条.•答案:C22(22)(12)4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()•A.4个B.3个•C.2个D.1个•解析:圆x2+2x+y2+4y-3=0(x+1)2+(y+2)2=8.•∴圆心(-1,-2),半径为而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离•∴圆上点到直线的距离为的点有3个.•答案:B222.r|121|2,2d2•5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()•A.(x-5)2+(y+7)2=25•B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15•C.(x-5)2+(y+7)2=9•D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9•解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时,•有(x-5)2+(y+7)2=9.•当两圆外切时,有(x-5)2+(y+7)2=25.应选D.•答案:D•6.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A､B两点,则直线AB的方程是________.•解析:二圆相减可得x+3y=0.x+3y=07.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________________________.解析:半径又圆心(1,2).∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.22|413235|5,43r(x-1)2+(y-2)2=25•8.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为__________.•解析:当两圆内切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5-1)2.∴a=0;当两圆外切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5+1)2,∴a=±•∴a=0或a=±25.25.025或•能力提升•9.已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关系.•解:设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式得:•P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,•∴(2x-12)2+(2y)2=16,•即(x-6)2+y2=4.•这就是点M的轨迹方程.•∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆.•两圆的圆心距而两半径之和为6.•∴两圆相外切.22(60)06,d•10.求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0也相切的圆的方程.•解:由题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).•又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.•若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.•(1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故可得a=2±•∴所求圆的方程为+(y-4)2=42,•或+(y-4)2=42.•(2)当C2(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72,•或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),故a=2±•∴所求圆的方程为+(y+4)2=42,•或+(y+4)2=42.210.2(2210)x2(2210)x26.2(226)x2(226)x•11.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是()•A.相离B.相交•C.外切D.内切•解析:圆O1:x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,∴圆心O1,(1,0),半径r1=1.•圆O2:x2+y2-4y=0,配方得x2+(y-2)2=4,•∴圆心O2(0,2),半径r2=2.|O1O2|==r1+r2.∴圆O1与圆O2相交.答案:B22(10)(02)53•12.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为则a=_