将军饮马系列最值问题-教师版

1/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题1.两点之间，线段最短．2.点到直线的距离，垂线段最短．3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4.AB、分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，RrABRr当且仅当ABO、、三点共线时能取等号．古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若AB、在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求．若AB、在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．“将军饮马”系列最值问题知识回顾知识讲解2/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC是轴对称图形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC与'''ABC关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．3/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化MMMMMMMMCCCCCCCCAPPPPPPPPBBBBBBBAAAAAABAPAPBBC…常见模型：（1）PAPB最小l同侧图1A'PBAlABP图2异侧（2）①PAPB最小ABP图4同侧l异侧l图5PBAA'ABP图6l异侧4/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题②PAPB最大PBAl同侧异侧lA'BAP【变形】异侧时，也可以问：在直线l上是否存在一点P使的直线l为APB的角平分线（3）周长最短类型一类型二类型三ABPA'CBOA''A'ANMB'A'BA（4）“过河”最短距离类型一类型二NMA'BAMNlB''B'NMBA（5）线段和最小l2l1l2l1FQQPPEFEBABA5/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题（6）在直角坐标系里的运用A''A'B'A'A'NMFEPBABABAAPE=BPEEEF=1A''A'B'A'B'A'NMFEPBABABA【例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线．【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．【变式练习】已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．ABMNC【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．因为是两边所在的直线，所以有两个答案：同步练习6/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点1P；ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点2P．P2P1DECNMBA【例2】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．lBAP【解析】作A点关于直线l的对称点，即为B点．【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【解析】作A点关于直线a的对称点'A，在连接'AB于直线a的交点即为M点．【变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．7/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题ABMNCPABMNCE【解析】如图，作对称再连接．这题实质还是“将军饮马”问题，在AB上找一点P，使得PMPN之和最小．【巩固】若此题改成，在a上找到M、N两点，且10MN，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短．aBANMA''A'aBA【解析】作A点''10AAaAAMN∥，，作'A点关于直线a的对称点''A，连接''BA与直线a的交点即为所求N点，再向左平移10个单位即为所求M点．【例4】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．【解析】如图，作对称再连接．8/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【例5】已知：如图，C、D分别是AOB内两点，OCOD，（1）分别在角两边各取两点EF、，使得CEF△周长1l（2）分别在角两边各取两点MN、，使得DMN△周长2l最小（3）12ll、是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．ABCDOHGQPNMODCBAFE【解析】如图,分别做对称再连接．CEF△周长1l最小PQ，DMN△周长2l最小GH12ll，GOHPOQ△≌△，PQGH【例6】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ，这时在直线OP上再取A点，使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点的距离和也最小．证明：AMANBMBN．QONMPBAM1N1ABPMNOQ【解析】如图，1M点与M点关于射线OP成对称，而1N点与N点关于射线OQ对称，这是A点和B点分别位于线段1NM和线段1NM上，1OMOM，1ONON，12NOMNOQNOM，12NOMMOPNOM，∵MOPNOQ，∴11NOMNOM，易证11NOMNOM≌△△，∴11NMNM，∴11NBBMNAAM，即BNBMANAM.【例7】已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．9/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题BOAMHPBOANM【解析】如图，作M点关于OB的对称点N，再过N点作OA的垂线OA于H．【例8】(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求22st的值．BPAMCM'BPAMCN【解析】作点M关于BC的对称点'M，连接'AM、'PM．由点M、'M关于BC对称可知，'PMPM．故''PAPMPAPMAM≥当且仅当A、P、'M共线时，等号成立，故22(')7tAM另外两个临界位置在点B和点C处．当点P位于点C处时，23PAPMACCM；当点P位于点B处时，3PAPMABBM．故22(23)743s，2243st．【例9】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得||AMBM最小值和最大值．lBAlMBAlPMBA10/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【解析】作AB的垂直平分线于直线l的交点处可取得最小值，0MAMBMAMB，；连接BA并延长BA于直线l的交点处处可取得最大值，||=AMBMAB0||AMBMAB剟【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，8AB，M是DC上的一点，且2DM，N是AC上的一动点．求（1）DNMN的最小值与最大值．（2）DNMN的最小值与最大值．DCNMBADCNMBADCPNMBADCNMEBA【解析】（1）找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点，连接BN、BM，由DNMNBNMNBM可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DNMN的值最小，该最小值为226810．当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即DNMN取最小值时；当点N位于点A时，8217DNMNADAM；当点N位于点C时，8614DNMNCDCM．故DNMN的最大值为8217．10DNMN剟8217（2）N位于DM的垂直平分线于AC的交点处，DNMN可取的最小值为0；当且仅当DMN、、三点共线时，位于C点时，DNMN可取的最大值为2DM；02DNMN剟11/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【例10】如图1，已知等边ABC△的边长为1，DEF、、分别是ABBCAC、、边上的点（均不与点ABC、、重合），记DEF△的周长为p.（1）若DEF、、分别是ABBCAC、、边上的中点，则p=_______；（2）若DEF、、分别是ABBCAC、、边上任意点，则p的取值范围是_______.小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC△以AC边为轴翻折一次得1ABC△，再将1ABC△以1BC为轴翻折一次得11ABC△，如图2所示.则由轴对称的性质可知，112DFFEEDp，根据两点之间线段最短，可得2pDD.老师听了后说：“你的想法很好，但2DD的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案．【解析】（1）3=2p（2）332p剟【例11】如图ABC△，DEF、、分别是ABBCAC、、边上的点（均不与点ABC、、重合），记DEF△的周长为p，请作出周长最小的DEF△．ABCNEDCMBAF【解析】如图，过A作AEBC于E，在分别作E点关于ABAC、的对称点MN、，连接MN分别交ABAC、于DF、，连接DEEF、，所得DEF△即为周长最小．【例12】如图，当点A与123lll、、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A向点B运动时的最短路程．ABDFCE1图ABDFCE1F1A1B2D1D1E2图12/17同步课程˙“将军饮马”系列最值问题l3l2l1BAl3l2l1B'A''A'BA【解析】利用三条对称轴作出对称点，然后根据两点之间线段最短【例13】如图，矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、，求作一击球路线，使P球顺次撞击球桌四边后再撞击Q球（球撞击桌边的入射角等于反射角）DCBAQPDCBAQ''Q'P''P'QP【解析】四个对称轴，作出对称点，连线【例14】点M是四边形ABCD的边BC的中点，120AMD，证明：12ABBCCDAD．MDCBAFEABCDM【解析】本题是典型轴对称变换，条件非常少，不过结论“12ABBCCDAD”非常有特点，即为什么会出现12BC，同时还是证明不等关系，只有我们在接触最短路程，已经三角形三边关系的时候做过类似的问题．【答案】作点B关于AM的对称点E，连接AE、EM，作点C关于MD的对称点F，连接DF、MF、EF∴ABAE，BMME，CDDF，MCMF易证ABMAEM≌，MCDMFD≌∴BMAEMA,CMDF