《导数及其应用》同步练习

1/62010级____班姓名__________新青蓝小班《导数及其应用》同步练习三1、将半径为R的球加热，若球的半径增加△R，则球的体积增加△y约等于()A.RR△334B.RR△24C.24RD.RR△42、下列各式正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－15x－63、下列函数在()，∞∞内为单调函数的是（）Ａ．2yxxＢ．yxＣ．xyeＤ．sinyx4、函数lnyxx在区间(01)，上是（）Ａ．单调增函数Ｂ．单调减函数Ｃ．在10e，上是单调减函数，在11e，上是单调增函数Ｄ．在10e，上是单调增函数，在11e，上是单调减函数5、已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值6、若函数f(x)＝xlnx在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A．1B．－1C．±1D．不存在7、若函数f(x)＝x3＋ax2－9在x＝－2处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．58、函数y＝13x3＋x2－3x－4在[－4,2]上的最小值是()A．－173B.163C．－643D．－1139、若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1，在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]10、若曲线4xy的一条切线l与直线084yx垂直，则l的方程为A.034yxB.054yxC.034yxD.034yx11、若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m取值范围为()A．m＞12B．m＜12C．m≥12D．m≤1212、函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则()A．0b1B．b0C．b0D．b1213、质点M按规律ttv43)(做直线运动，则质点的加速度a=___________。14、若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x－5，则f′(2)＝________.2/615、若f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是________．16、已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．17、(本小题满分12分)已知曲线C：3)(xxf。（1）利用导数的定义求)(xf的导函数)('xf；（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。18、(本小题满分12分)已知函数32()32fxxaxbx在1x处有极小值1，试求ab，的值，并求出()fx的单调区间．19、(本小题满分12分)判断函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单调性．20、(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)f(x)＝ln(8x)；(2)f(x)＝(x＋1)(1x－1)．3/621、(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值点．22、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)若a＝0，b＝2，求F(x)＝(2x＋1)f(x)的导数；(2)若函数f(x)在x＝0，x＝4处取得极值，且极小值为－1，求a，b的值；(3)试讨论“对x∈[0,1]，函数f(x)的图象上的任意一点的切线斜率k都满足k≥－1”成立的充要条件．4/6答案1、B。提示：∵334RRV，∴RVRRVy△△333434RRR△33223343334RRRRRRR△△△3223444RRRRR△△△∵△R是一个很小的量，∴2R△和（△R）3非常小，∴RRy△△24。2、C.本题考察对函数的求导公式的理解和把握。3、Ｃ4、Ｃ.解：函数的定义域是),0(，1lnxy。令01lnxy，得ex1ln1ln，∴ex1令01lnxy，得ex1ln1ln，∴ex105、C.解析：在(－∞，0)上，f′(x)0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．6、A.解析：因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，于是有x0lnx0＋lnx0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)．故选A.7、B．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax，∴f′(－2)＝12－4a＝0，∴a＝3.8、A．解析：y′＝x2＋2x－3，令y′＝0，得x＝－3或x＝1，分别计算f(－4)，f(－3)，f(1)，f(2)，比较大小，取其中最小的，故选A.9、D．解析：f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a，当a≤1时，f(x)在[1,2]上为减函数，由g′(x)＝－ax＋120，得a0.故0a≤1.10、A11、C．解析：f′(x)＝2mx＋1x－2，由题意，当x＞0时，2mx＋1x－2≥0，即2mx2－2x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，令f(x)＝2mx2－2x＋1(x＞0)，则Δ＞0－－22×2m＜02m＞0f0≥0或2m＞0Δ≤0，解得m≥12.故选C.12、A．解析：f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)在(0,1)内由负变正，即f′00，f′10，则－3b0，3－3b0.解得0b1.13、解析：速度关于时间的函数的导数是速度，速度关于时间的函数的导数是加速度。答案：4.5/614、解析：f′(x)＝3x2－2f′(1)x＋2，f′(1)＝3－2f′(1)＋2.∴f′(1)＝53，f′(2)＝3×22－2×53×2＋2＝223。答案：22315、解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m.∵f(x)在R上是单调递增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即3x2＋2x＋m≥0.由Δ＝4－4×3m≤0，得m≥13.答案：m≥1316、解析：对f(x)求导得f′(x)＝ex－2，∴当x＜ln2时，f′(x)＜0；当x＞ln2时，f′(x)＞0，∴f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a，则函数有零点即f(x)min≤0，∴2－2ln2＋a≤0，∴a≤2ln2－2.答案：(－∞，2ln2－2]17、解：（1）)('xfxxxxxxfxxfxx△△△△△△3300lim)(lim22203)(33limxxxxxx△△△，（2）将1x代入曲线C的方程，得1y，∴切点的坐标为（1，1）。又∵切线的斜率313)1('2fk，∴过点（1，1）的切线的方程为131xy，即023yx。18、解：由已知，可得(1)1321fab，又2()362fxxaxb，①(1)3620fab∴，②由①，②，解得1132ab，．故函数的解析式为32()fxxxx．由此得2()321fxxx，根据二次函数的性质，当13x或1x时，()0fx；当113x，()0fx．因此函数的单调增区间为13，∞和(1)，∞，函数的单调减区间为113，．19、解：∵f(x)＝x3－3x2－9x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x－9＝)3)(1(3xx令f′(x)0，结合－4≤x≤4，得－4≤x－1或3x≤4.令f′(x)0，结合－4≤x≤4，得－1x3.∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．20、解：(1)因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝1x.(2)因为f(x)＝(x＋1)(1x－1)＝1－x＋1x－1＝－x＋1x＝1－xx，6/6所以f′(x)＝－1·x－1－x·12xx＝－12x(1＋1x)．注：也可以f(x)＝(x＋1)(1x－1)＝1－x＋1x－1＝－x＋1xf′(x)＝－)'(x+)'(21x＝－12x2321x＝－12x－xx21.21、解析：(1)f′(x)＝3x2－3a(a≠0)，………………1分因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f′2＝0，f2＝8.即34－a＝0，8－6a＋b＝8.………………3分解得a＝4，b＝24.………………4分(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a0时，f′(x)0，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，函数f(x)没有极值点；………………7分当a0时，f′(x)＝3(x2－a)))((3axax，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝a.当x变化时，f′(x)、f(x)变化状态如下表：x(－∞，－a)－a(－a，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值………………10分由表知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，a)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－a，a)x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．…………12分22、解析：(1)F(x)＝－2x4－x3＋4x＋2，∴F′(x)＝－8x3－3x2＋4.………3分(2)令f′(x)＝－3x2＋2ax＝0得x＝0或x＝2a3.∴2a3＝4得a＝6，当x0，f′(x)0，当0x4时，f′(x)0，故当x＝0时，f(x)达到极小值f(0)＝b，∴b＝－1.………7分(3)当x∈[0,1]时，－3x2＋2ax≥－1恒成立．即g(x)＝3x2－2ax－1≤0对一切x∈[0,1]恒成立，只需g0＝－1≤0g1＝2－2a≤0，即a≥1.反之，当a≥1时，g(x)≤0对x∈[0,1]恒成立．∴a≥1是k≥－1成立的充要条件．