热力学-统计物理第八章-玻色统计和费米统计[精]

不可分辨粒子系统统计第八章玻色统计和费米统计当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。主要内容§8.1热力学量的统计表达式§8.2弱简并理想玻色气体和费米气体§8.3玻色—Einstein凝聚§8.5金属中的自由电子气体§8.1热力学量的统计表示llelll)1(1、定义巨配分函数)1ln(lnlell1leaNllll本节推导玻色系统和费米系统的热力学公式。α、β和y看作由实验确定的参量。系统的总粒子数为一、玻色系统的热力学量的表达式)1ln(lnlell1leaNllll)1ln(lnlellllllee1)1(llle1lnN2、粒子数1leaUllllll)1ln(lnlelllllllee1)(lllle1lnU3、内能)1ln(lnlell由开放系热力学关系1dSdUYdydNTdUTdSYdydN所以积分得将lnlnlnSklnSklnlnlndSkd1,kTkT玻耳兹曼关系lnln(1)lle代入上式，并与式6.7.4ln()ln()lnlnllllllllaaaa比较有差一个积分因子1、巨配分函数改为其对数前面的讨论和有关公式完全适用1lllllelnln1llle二、费米系统1leall玻色统计费米统计lnNlnU1lnYy1lnpVlnlnlnSklnSk玻耳兹曼关系满足ea»1，但处理问题的过程中，分布函数分母中的1不忽略，即虽然满足ea»1，但仍考虑量子效应的微弱影响的情况。§8.2弱简并玻色气体和费米气体玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。1leallleall1e一、弱简并气体1leall)1(11llleee只考虑平动mp22dmhVgdD2/12/33)2(2)(daDN)()(01)2(22/102/33ledmhVgdeemhVgll)1()2(202/12/33)()2(2202/102/12/33dedeemhVgll)211()2(2/32/32eVehmkTgN分子可能的微观状态数为V~dg是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度二、弱简并条件利用玻耳兹曼统计的结果1ZNegmkThVN1)2(2/321VNn小，稀薄。T大，高温。m大，经典粒子。))2(1211(232/322/5mkThVNgNkTU第二项－粒子间某种势能（附加内能）费米粒子相互排斥，附加内能为正玻色粒子相互吸引，附加内能为负daDU)()(0)211()2(232/52/32ekTVehmkTg相除)211(232/5eNkTU§8.3玻色－爱因斯坦凝聚一、玻色气体的化学势11kTllllleea一个量子态的粒子数10kTlllea取最低能级0010kTlle00kTkT1,lkTlleVVNn11由于εl,、ωl均与T无关，所以μ=μ(T，n)若保持n一定时，则T↓，必有ε-μ↓，ε不变，所以μ↑，即∣μ∣↓，若T→Tc时，使得μ→0，则Tc称为临界温度。lkTlleVVNn1102/12/331)2(2kTedmhn连续化3/223/2)612.2(2nmkTc1)2(22/102/33ckTedmhnckTxcTT0令1)2(22/102/33xcedxxmkThn0,cTT则nedmhedmhckTkT1)2(21)2(22/102/332/102/330任何温度下lkTlleVVNn1102/12/331)2(2kTedmhn原因：过程中忽略了ε=0项T0cT:情况低温cTTlkTlleVVNn1102/12/3301)2(2kTedmhnn第一项表示ε=0能级上的粒子数目，第二项表示ε0能级上的粒子数目。0n可以忽略cTT0n可以和所有激发态能级上粒子数相比较（玻色-爱因斯坦凝聚）。cTT？0,cTT1)2(22/102/330kTedmhn01)2(22/102/33xedxxmkTh1)2(2)(2/102/332/3xccedxxmkThTT2/3)(cTTn])(1[2/30cTTnnnn0TcT000])(1[2/30cTTnnnTTnnc2/30)(cTT波色粒子都在上能级。000])(1[2/30cTTnnnTTnnc2/30)(cTT上能级装不下所有波色粒子，必有可观数目粒子出现在零能级。因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦凝聚，需要提高临界温度。为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。二、热力学量1)2(22/102/330kTedmhnn1)2(22/302/33kTedmhU2/3)(770.0cTTNkT2/3)(925.1cVTTNkC3/223/2)612.2(2nmkTc§8.5金属中的自由电子气体NkTU3NkCV3三维线性振子晶格-电子对热容量的贡献未计！一、本节研究自由电子气体对金属的U，Cv的贡献。以此为例讨论简并费米气体（eα1）的特性。金属中原子贡献价电子，形成离子晶格中的自由电子气体。二、费米气体一个量子态的费米粒子数dmhVdD2/12/33)2(4)(电子g=2；态密度d间粒子数1)2(42/12/33kTedmhVNedmhVkT1)2(42/102/33),,(VTN11kTef参见式6.2.1711kTefkTT1,00f1ff1三、T=0KNdmhV)0(02/12/33)2(4NmhV2/32/33)2(383/222)3(2)0(VNm费米能级mp2)0()0(2费米动量3/12)3()0(VNp0K时电子的最大能量0K时电子的最大动量内能)0(02/32/33)2(4dmhVU2/52/33)0()2(58mhV)0(53N费米温度TF)0(FkT四、T0K21f21f21ff1只有费米能级附近能级中电子可以跳到费米能级之上。kT21NkTNe每个粒子贡献热容量kT23)(23kTNkCV)(23FTTNk2.热容量估计1.泡利不相容原理11kTef小结1、掌握巨配分函数的定义，了解玻色系统和费米系统的宏观热力学量的统计表达式。2、理解弱简并理想气体的概念，了解统计方法在玻色气体和费米气体上的应用。3、了解玻色—Einstein凝聚现象。4、掌握金属中的自由电子气体的费米分布特性及其对固体热容量的贡献。