第四章-插值与拟合

插值法插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。第四章插值与拟合§4.1引言§4.2拉格朗日插值§4.3均差与牛顿插值公式§4.4差分与等距节点插值§4.5埃尔米特(Hermite)插值与分段插值§4.6曲线拟合§4.1引言问题的提出–函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)–或者给出函数表y=f(x)y=p(x)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn插值法的基本原理设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,是[a,b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足则称为f(x)的一个插值函数,f(x)为被插函数,点xi为插值节点,称(4.1)式为插值条件,而误差函数R(x)=称为插值余项,区间[a,b]称为插值区间,插值点在插值区间内的称为内插,否则称外插nxxx,,,10)(,),(),(10nxfxfxf)(iixfy)(x),,2,1()()(nixfxii)(x(4.1))()(xxf插值函数在n+1个互异插值节点(i=0,1,…,n)处与相等,在其它点x就用的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用的值作为f(x)的近似值,不仅希望能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式。)(xix)(ixf)(x)(x)(x0111)(axaxaxaxPnnnn0111)(axaxaxaxPnnnn满足),,2,1,0()()(nixfxPii则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示yy=P(x)y=f(x)y1ynx0x1xnx定理1n次代数插值问题的解是存在且惟一的证明:设n次多项式0111)(axaxaxaxPnnnn是函数在区间[a,b]上的n+1个互异的节点(i=0,1,2,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数(i=0,1,2,…,n)。)(xfyixia由插值条件:(i=0,1,2,…,n),可得)()(iixfxp)()()(01111011111100011010nnnnnnnnnnnnnnnnxfaxaxaxaxfaxaxaxaxfaxaxaxa这是一个关于待定参数的n+1阶线性方程组,其系数矩阵行列式为naaa,,,10niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV110212110200)(111称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解存在惟一，从而P(x)被惟一确定。naaa,,,10惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(4.1)其结果都是相互恒等的。§4.2拉格朗日（Lagrange）插值为了构造满足插值条件(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多项式L(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。（线性插值与抛物插值）（1）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)在两个互异的点的值，,现要求用线性函数近似地代替f(x)。选择参数a和b,使。称这样的线性函数L1(x)为f(x)的线性插值函数。()()iiLxfx0x1x)(),(1100xfyxfy1()Lxaxb1()()(0,1)iiLxfxi线性插值的几何意义:用通过点和的直线近似地代替曲线y=f(x)由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为))(,(00xfxA))(,(11xfxB1010010()()yyLxyxxxx011010110()xxxxLxyyxxxx01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl0)(,1)(1000xlxl1)(,0)(1101xlxl1)()(10xlxl为了便于推广，记这是一次函数,且有性质y=f(x)L1(x)=ax+bA(x.0,f(x.0))B(x.1,f(x.1)))(0)(1)(kikixlkiik与称为线性插值基函数。且有)(0xl)(1xl1,0,)(10kxxxxxlkjjjkjk于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合10011()()()Lxlxylxy例4.1已知,,求1010011121115y解:这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值1121100()1011100121121100xxLx1115(115)10.714yL（2）抛物插值抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式使满足二次插值条件：这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点的抛物线近似代替曲线,如下图所示。因此也称之为抛物插值。22210()Lxaxaxa2()(0,1,2)iiLxyi),(),,(),,(221100yxyxyx2()yLx)(xfyyy=L2(x)y0y1y1y=f(x)Ox0x1x2xL2(x)的参数直接由插值条件决定，即满足下面的代数方程组：210,,aaa210,,aaa222221012121100202010yxaxaayxaxaayxaxaa222211200111xxxxxx该三元一次方程组的系数矩阵的行列式是范德蒙行列式，当时，方程组的解唯一。210xxx为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：求二次式,使其满足条件：)(0xl0)(,0)(,1)(201000xlxlxl这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:是的两个零点。于是21,xx)(0xl))(()(210xxxxcxl再由另一条件确定系数1)(00xl))((12010xxxxc))(())(()(2010210xxxxxxxxxl从而导出类似地可以构造出满足条件：的插值多项式0)(,0)(,1)(210111xlxlxl))(())(()(2101201xxxxxxxxxl及满足条件：的插值多项式0)(,0)(,1)(120222xlxlxl))(())(()(1202102xxxxxxxxxl这样构造出来的称为抛物插值的基函数)(),(),(210xlxlxl取已知数据作为线性组合系数,将基函数线性组合可得210,,yyy)(),(),(210xlxlxl0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxx容易看出,P(x)满足条件2()(0,1,2)iiLxyi4.2.1拉格朗日插值多项式两个插值点可求出一次插值多项式,而三个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同的已知点,来构造一个次数为n的代数多项式Ln(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式的插值问题,使其在各节点上满足),,1,0)(,(niyxii)(xliix0)(,,0)(,1)(,0)(,,0)(110nkkkkkkkkxlxlxlxlxl)(0)(1)(kikixlkiik即由条件()知,都是n次的零点,故可设0)(ikxlkinkkxxxxx,,,,,,1110)(xlk)())(()()(110niiixxxxxxxxAxl设.为待定常数其中A可得由1)(iixl)())(()(1110niiiiiixxxxxxxxA0110110()()()()()()()()()()(0,1,,)(*)()iiniiiiiiinnjjijjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxx所以称之为Lagrange插值基函数.利用拉格朗日基函数,可以构造多项式00110()()()()()(4.2)nnnniiiLxylxylxylxylx.Lagrange)(.,)(,)(插值多项式为称解故其为拉格朗日问题的且满足插值条件的多项式为次数不超过xLyxLnxLniinn插值多项式为：线性插值多项式：n=1010110101xxxxyxxxxyxL)(),(,)(101iyxLii满足y=f(x)xyx0x1y=L1(x).),(),,()(的直线为过点11001yxyxxLy几何意义：抛物插值多项式：n=2插值多项式为：))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL),,(,)(2102iyxLii满足xyy=L2(x)x0y=f(x)x1x2.),(),(),,()(的一条抛物线和为过点2211002yxyxyxxLy几何意义：101()()()()(4.3)nnxxxxxxx引入记号)())(()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx则得101()()(4.4)()()nnnkkknkxLxyxxx于是例4.2处的近似值。在公式求，利用插值，，，的值分别为：，在设2007408180778801086070809048370300250150100......,.,..)(xxexexf解：))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(23130321033212023102312101320130201032103xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxL代入分别将.,.,.,.,.3002501501002003210xxxxx81873002003.).(L可得...52001081873080相比，误差与准确结果e定理4.1nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,,2,1,0)(),(jixxji若插值节点则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.反证：若不唯一，则除了Pn(x)外还有另一n阶多项式Ln(x)满足Ln(xi)=yi。考察则Qn的阶数,)()()(xLxPxQnnnn而Qn有个不同的根n+1x0…xn注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。niinxxxpxLxP0)()()()()(xp例4.3已知y=f(x)的函数表求线性插值多项式,并计算x=1.5的值X13y1225