wode随机变量及其分布复习课

概率复习课一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．P1xix2x······1p2pip······nxnpX1）离散型随机变量的均值或数学期望1122()........iinnEXxpxpxpxp数学期望是反映离散型随机变量的平均水平2）离散型随机变量的方差nniipXExpXExpXExXD22121))((...))((...))(()(为随机变量X的方差。niiipXEx12))((称)()(XDX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。2、期望与方差4）几个常用公式)()(2XDabaXD()()EaXbaEXb)1()(,)(ppXDpXEX服从两点分布，则若)1()(,)(),,~pnpXDnpXEpnBX则（若3）求离散型随机变量的期望、方差的步骤求分布列→求期望→求方差3、随机事件之间的关系)()()(,,)4BPAPABPBA相互独立事件设)An(AB)P(Bn(A)适用古典概型()()()PABPBAPA适用任何概率模型1）当事件A与B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)))2)P(A1-P(A3）条件概率4、二项分布与两点分布、超几何分布的区别和联系1）两点分布是特殊的二项分布(1)p2）一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，记次品的件数为.⑴如果是有放回地取，则(,)MBnN⑵如果是不放回地取,则服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmC(其中min(,)mMn3）正态分布的定义:如果对于任何实数ab,随机变量X满足:badxxbXaP)()(,则称为X为正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作X~N（μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2）abXY()ms:２简记为：ＸＮ，(](]Xa,PaX)a,bbxbms£２若是一个随机变量，对任给区间，（恰好是正态密度曲线下方和轴上方所围成的图形的面积，我们就称Ｘ服从参数和的正态分布。我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。2,23,3当3a时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3原则.区间取值概率（μ－σ，μ＋σ]68.3%（μ－2σ，μ＋2σ]95.4%（μ－3σ，μ＋3σ]99.7%２、求随机事件的概率（条件概率、相互独立事件）３、几种分布（两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布）１、求分布列、期望、方差题型１、周末作业11、12题型2、单元测评卷（二）A2、5、7、11题型3、周末作业1、3、6单元测评卷（二）A4、8、10、12、题组一概率及其应用例1从甲袋中摸出1个红球的概率为13，从乙袋中摸出1个红球的概率为12，从两袋中各摸出一个球，则23等于()A．2个球都不是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率[答案]C[解析]P(A)＝1－13×1－12＝13，P(B)＝13×12＝16，P(C)＝1－1－13×1－12＝23，P(D)＝13×1－12＋1－13×12＝12.例2某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为X，求X的分布列．解：(1)不需要补考就获得证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝23×12＝13.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(2)由已知得，X＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P(X＝2)＝P(A1B1)＋P(A1A2)＝23×12＋13×13＝13＋19＝49.P(X＝3)＝P(A1B1B2)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B1)＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝16＋16＋19＝49，P(X＝4)＝P(A1A2B1B2)＋P(A1A2B1B2)＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝118＋118＝19，所以X的分布列为X234P494919题组三随机变量的分布列例1一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个．从中任取两个，其中白球的个数记为X，则下列算式中等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝2)D．P(X＝1)[答案]B[解析]本题属于超几何分布．随机变量X的概率分布为X012PC222C226C122C14C226C24C226而P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)，所以选B.例2图T2－1是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．图T2－1解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3，0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.题组四期望与方差及其应用例1为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，数学期望E(X)＝3，标准差D(X)＝32.(1)求n，p的值并写出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.X的分布列为X0123456P164664156420641564664164(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P(A)＝1－P(X3)＝1－15＋6＋164＝2132.题组五正态分布及其应用例已知随机变量X服从正态分布N(3，a2)，则P(X3)等于()A.15B.14C.13D.12[解析]因为X服从正态分布N(3，a2)，则正态密度曲线关于直线x＝3对称，因此P(X3)＝12.体验高考2．[2012·福建卷]受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．3．[2012·江苏卷]设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ.解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是ξ012P411611111因此Eξ＝1×611＋2×111＝6＋211.4．[2012·陕西卷]某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X分布列及数学期望．解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)解法一：X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟．所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.解法二：X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.5．[2012·课程标准卷]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10