名师推荐导数的综合应用练习题及答案

导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。2(1)()23[1,1.5]fxxx；21(2)()[2,2]1fxx；(3)()3[0,3]fxxx；2(4)()1[1,1]xfxe解：2(1)()23[1,1.5]fxxx该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41fxx，在开区间上可导，而且(1)0f，(1.5)0f，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)，使()410f，解出14。解：21(2)()[2,2]1fxx该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)xfxx，在开区间上可导，而且1(2)5f，1(2)5f，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)，使222()0(1)f，解出0。解：(3)()3[0,3]fxxx该函数在给定闭区间上连续，其导数为()323xfxxx，在开区间上可导，而且(0)0f，(3)0f，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)，使()3023f，解出2。解：2(4)()e1[1,1]xfx该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2exfxx，在开区间上可导，而且(1)e1f，(1)e1f，满足罗尔定理，至少有一点，使2()2e0f，解出0。2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。3(1)()[0,](0)fxxaa；(2)()ln[1,2]fxx；32(3)()52[1,0]fxxxx解：3(1)()[0,](0)fxxaa该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3fxx，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a，使()(0)()(0)faffa，即3203(0)aa，解出3a。解：(2)()ln[1,2]fxx该函数在给定闭区间上连续，其导数为1()fxx，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,2)，使(2)(1)()(21)fff，即1ln2ln1(21)，解出1ln2。解：32(3)()52[1,0]fxxxx该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3101fxxx，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,0)，使(0)(1)()(01)fff，即22(9)(3101)(01)，解出5433。3.不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)fxxxxx的导数有几个实根及根所在的范围。答案：有三个根，分别在(1,2),(2,3),(3,4)4证明：当1x时，恒等式222arctanarcsin1xxx成立证：设22()2arctanarcsin1xFxxx当1x时，()Fx连续，当1x时，()Fx可导且22222222212(1)2222()01(1)1121()1xxxFxxxxxxx即当1x时，()FxC，即()(1)242FxF故当1x时，222arctanarcsin1xxx5设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，证明在(0,1)内存在一点c，使()2()()cfcfcfc．证明：令2()(1)()Fxxfx，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因(0)0f，则(0)0(1)FF即()Fx在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)c使()0Fc又2()2(1)()(1)()Fxxfxxfx，即22(1)()(1)()0cfccfc而(0,1)c，得()2()()cfcfcfc6.已知函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0ff，证明在(0,1)内至少存在一点，使得()()ff．证明：令()()Fxxfx，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(1)FF即()Fx在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)使()0F又()()()Fxfxxfx，即()()0ff，故()()ff．7.证明不等式：2121sinsinxxxx证明：设函数()sinfxx，，12,xxR，不妨设12xx，该函数在区间12[,]xx上连续，在12(,)xx上可导，由拉格朗日中值定理有2121()()()()fxfxfxx，12()xx即2121sinsincos()xxxx，故2121sinsincos()xxxx，由于cos1，所以有2121sinsinxxxx8.证明不等式：11()()(1,0)nnnnnbababnaabnab证明：设函数()nfxx，在[,]ba上连续，在(,)ba内可导，满足拉格朗日定理条件，故1()nnnabnab，其中0ba，因此111nnnba有111()()()nnnnbabnabnaab所以11()()nnnnnbababnaab9.利用洛必达法则求下列极限：0ee(1)limxxxx；解：00eee+elimlim21xxxxxxx1ln(2)lim1xxx；解：111lnlimlim111xxxxx3232132(3)lim1xxxxxx；解：322322113236limlim1321xxxxxxxxxxx2ln()2(4)limtanxxx；解：2222221ln()cos2cos(sin)22limlimlimlim01tan1cos2xxxxxxxxxxxx(5)lim(0,enaxxxan为正整数）解：1!limlimlim0eeennaxaxnaxxxxxnxnaa0(6)limln(0)mxxxm；解：100001lnlimlnlimlimlim0mmmmxxxxxxxxxxmxm011(7)lim()e1xxx；解：0000011e1e1e11lim()limlimlimlime1(e1)e1eeee22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx10(8)lim(1sin)xxx；解：11sinsin00lim(1sin)lim(1sin)exxxxxxxxsin0(9)limxxx；解：212000001lnsinsinsinlimsinlnlimlimlimlimsin0coscossinsincos0limeeeeee1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx10.设函数ln(1)0()10kxxfxxx，若()fx在点0x处可导，求k与(0)f的值。解：由于函数在0x处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有00ln(1)limlim(0)1xxkxkxkfxx，即1k按导数定义有200000ln(1)111()(0)ln(1)111(0)limlimlimlimlim022(1)2xxxxxxfxfxxxxfxxxxx11.设函数21cos0()0110e1xxxxfxkxxx，当k为何值时，()fx在点0x处连续。解：函数连续定义，00lim()lim()(0)xxfxfxf，00000011e1e1e11lim()lim()limlimlimlime1(e1)e1eeee22xxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxx2001cos1lim()lim2xxxfxx，而01(0)lim()2xfkfx；即当12k时，函数()fx在0x点连续。12.求下列函数的单调增减区间：2(1)365yxx；解：660yx，有驻点1x，由于当1x时，0y，此时函数单调减少；由于当1x时，0y，此时函数单调增加；42(3)22yxx；解：32444(1)yxxxx，令0y，有0,1,1xxx，当1x时，0y，此时函数单调较少；当10x时，0y，此时函数单调增加；当01x时，0y，此时函数单调较少；当1x时，0y，此时函数单调增加2(3)1xyx；解：22222(1)2(1)(1)xxxxxyxx，令0y，有0,2xx，此外有原函数知1x，当2x时，0y，此时函数单调增加；当21x时，0y，此时函数单调减少；当10x时，0y，此时函数单调减少；当0x时，0y，此时函数单调增加；13.证明函数2ln(1)yxx单调增加。证明：2222(1)1011xxyxx，等号仅在1x成立，所以函数2ln(1)yxx在定义区间上为单调增加。14.证明函数sinyxx单调减少。解：cos10yx，等号仅在孤立点2(0,1,2)xnn成立，所以函数sinyxx在定义域内为单调减少。15.证明不等式：123(0,1)xxxx证明：设1()23fxxx，在1x时，(1)0f，且22111()xxfxxxx，当1x时，()0fx，函数单调增加，因此()(1)0fxf；当01x时，()0fx，函数单调减少，因此()(1)0fxf；所以对一切0x，且1x，都有()0fx，即123(0,1)xxxx16.证明：当0x时，1xex解：设()1xfxex()1xfxe，当0,()0(),xfxfx所以0,()(0)0xfxf所以0,1xxex当0,()0(),xfxfx所以0,()(0)0xfxf所以0,1xxex0,1.xxex17.证明：当0x时，ln(1)1xxx解：设()ln(1)1xfxxx2211()1(1)(1)xfxxxx，当0,()0(),xfxfx所以0,()(0)0xfxf，0,ln(1)1xxxx即18.证明方程3310xx在(0,1)内只有一个实根。证明：令3()31fxxx，()fx在[0,1]上连续，且(0)1,(1)1,ff由零点定理存在(0,1)，使()0f，所以是方程3310xx在(0,1)内的一个根。又因为22()333(1)fxxx，当(0,1)x时()0fx，函数单调递减，当x时，()()0fxf，当x时，()()0fxf，所以在(0,1)内只有一个实根或用罗尔定理证明只有一个实根。19.求下列函数的极值：32(1)37yxx；解：2363(2)yxxxx，令2363(2)0yxxxx，解出驻点为0;2xx，函数在定义域内的单调性与极值见图表所示：x(,0)0(0,2)2(2,)()fx00()fx单调增加极大7单调减