第六章-线性空间-习题答案

-1-第六章线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（1n）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A是一个nn实矩阵，A的实系数多项式()fA的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体n级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)ababaabbaa，211111(1)(,)(,)2kkkabkakba；6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k0；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k；8）全体正实数R，加法与数量乘法定义为：abab，kkaa．解1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个n次多项式相加不一定是n次多项式，所以对加法不封闭．2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{()|()[]}VffxxRA即为题目中的集合，显然，对任意的(),()fgVAA，及kR，有()()()fghVAAA，()()()kfkfVAA，其中()()()hxfxgx．这就说明V对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三-2-角）矩阵，一个数k乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量的两个向量的和可能平行于，例如：以为对角线的任意两个向量的和都平行于，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(,)|,}VababR即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的(,)ab，(,)iiabV，1,2,3i；,klR，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立；②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于(,)(0,0)(0,00)(,)ababab，故(0,0)是V中加法的零元素；④如果11111(,)(,)(,)(0,0)ababaabbaa，则有211(,)(,)abaab，即2(,)aab为(,)ab的负元素；⑤21(11)1(,)(1,1)(,)2ababaab；⑥222(1)(1)(1)((,))(,)(,[]())222llllkkklabklalbaklaklbala2(1)(,)()(,)2klklklaklbaklab；⑦22(1)(1)(,)(,)(,)(,)22kkllkablabkakbalalba222(1)(1)(,)22kkllkalakbalbakla2(1)(1)[(),()]2kklklaklba()(,)klab；⑧1122121212[(,)(,)](,)kababkaabbaa212121212(1)[(),()()]2kkkaakbbaaaa，而221122111222(1)(1)(,)(,)(,)(,)22kkkkkabkabkakbakakba22212112212(1)(1)(,)22kkkkkakakbakbakaa-3-212121212(1)[(),()()]2kkkaakbbaaaa，即11221122[(,)(,)](,)(,)kababkabkab．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V构成实数域上的一个线性空间．6）不能构成实数域上的线性空间．因为10，故不满足定义的第5条规律．7）不能构成实数域上的线性空间．因为()2klkl，故不满足定义的第7条规律．8）能构成实数域上的线性空间．由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故R对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的,abR，,klR，有①ababbaba；②()()()()abcabcabcabcabc；③11aaa，即1是定义的加法的零元素；④111aaaa，即1a是a的负元素；⑤11aaa；⑥()()()()llklkklklakaaaakla；⑦()()()klklklaaaakala⑧()()()()()kkkkabkabababkakb．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以R构成实数域上的一个线性空间．『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的．4．在线性空间中，证明：1）k00；2）()kkk．『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．证明1）证法１由于对任意的向量，存在负向量，使得()0，故-4-(())()(1)(())0kkkkkkkk00；证法２对于任意的向量，有()kkkk00，左右两边再加上k的负向量k，即可得k00；2）利用数量乘法对加法的分配律，得到()()kkkk，等式两边再加上k的负向量k，即可得()kkk．5．证明：在实函数空间中，21,cos,cos2tt是线性相关的．『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．证明由于在实函数空间中，有1cos22cos2tt，即cos2t可由另外两个向量线性表出，故21,cos,cos2tt是线性相关的．7．在4P中，求向量在基1234,,,下的坐标，设2）1234(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)．解法1设在基1234,,,下的坐标为1234(,,,)kkkk，则有11223344kkkk．2）将向量等式按分量写出，得12312342412420,0,30,1.kkkkkkkkkkkk解方程组，得12341,0,1,0kkkk，即为在基1234,,,下的坐标．解法2将1234,,,和作为矩阵的列构成一个矩阵1234,,,,A，对A进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定与1234,,,的线性关系．2）对A进行初等行变换，得到-5-1210010001111100100003010001011101100010A，于是13．『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．8．求下列线性空间的维数与一组基：1）数域P上的空间nnP；2）nnP中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数．解1）nnP是数域P上全体n级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1,ijn，令ijE表示第i行第j列的元素为1，其余元素均为0的n级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证ijE，,1,2,,ijn是线性无关的，且任意n级矩阵A均可由它们线性表出，从而为nnP的一组基．于是nnP的维数为2n．2）仍然使用1）中的符号，并记{|}nnSPAAA，{|}nnTPAAA，{()|0,}nnijijNaPaijA．则，按照矩阵的加法和数量乘法，,,STN分别表示nnP中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证①iiE，1,2,,in；ijjiEE，1ijn，构成线性空间S的一组基，其维数为(1)122nnn．②ijjiEE，1ijn，构成线性空间T的一组基，其维数为(1)12(1)2nnn．③iiE，1,2,,in；ijE，1ijn，构成线性空间N的一组基，其维数为-6-(1)122nnn．『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．9．在4P中,求由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标．设1）1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3),1234(,,,)xxxx在1234,,,下的坐标；2）1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),(1,0,0,0)在1234,,,下的坐标；『解题提示』由于题目是在4维向量空间4P中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．解1）由于1234,,,为4维单位向量，故i，1,2,3,4i在基1234,,,下的坐标向量即为i本身，故123420561336(,,,)11211013A即为由基1234,,,到1234,,,的过渡矩阵．又由于1234(,,,)xxxx在基1234,,,下的坐标向量即为本身，根据坐标变换公式，可知在1234,,,下的坐标为111222133344412927331129231900182773926yxxyxxyxxyxxA，即-7-1123421234314412344111,93914123,27932712,3371126.279327yxxxxyxxxxyxxyxxxx2）由于这一题目是在4维向量空间4P中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵为112341234(,,,)(,,,)A111112021212111131110021101111222．令12341234(,,,),(,,,)BC，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造2nn矩阵=()PBC，对矩阵P实施初等行变换，当把B化成单位矩阵E时，矩阵C就化成了1BC：1111202121211113=1110021101111222