1.3.1函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点)2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3．能根据函数的单调性求参数．(难点)1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.（4）对数函数的导数:.1)(lnxx.ln1log.1)(logaxxxeaa（5）指数函数的导数:.)(xxee).1,0(ln)(aaaaaxxxxcos)(sin（3）三角函数：xxsin)(cos（1）常函数：C/0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)/nxn1基本初等函数的导数公式函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)你是如何去判断函数的单调性？yx2(,0)(0,)33?yxxxyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数.图象法定义法减增如图：(,0)在上递减(0,)在上递增单调性导数的正负函数及图象xyo2()fxxyox()fxxyox()fxx在上递增(,)在上递减(,)'()10fx'()10fx'()20fxx'()20fxx2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减ab如果在某个区间内恒有,则为?0)(xf)(xf特别地，如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.例1：已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，画出函数图象的大致形状()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴解：的大致形状如右图：()fx称A,B两点为“临界点”ABxyo23()yfx类型一利用导数确定函数大致图象函数y＝f(x)的图象如图所示，试画导函数f′(x)图象的大致形状.注：图象形状不唯一xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx例2：求函数的单调区间.变1：求函数的单调区间.3233yxx233yxx'63yx解：定义域：R11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变2：求函数的单调区间.xyex巩固提高：'01xye令得解:'1xye(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e类型二利用导数求函数的单调区间210yx得令3200y或得令x定义域：R①求函数定义域②求'()fx③'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间1.“导数法”求单调区间的步骤：2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，如何表示单调区间？不能用“∪”连接，应用“，”隔开临界值解方程令0(x)f的单调区间：求变xxxfln33)(2解：),0(x定义域为：xxxf33)(22233xxx2)1(3xx10)(xxf得令10)(xxf得令100)(xxf得令的单调增区间：xxxfln33)(,1单调减区间：1,0例3：水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(1)→B(2)→A(3)→D(4)→C试从导数的角度解释变化的快慢在某一范围内|f＇(x)|越大，在这个范围内变化越快，图象就越“陡峭”；反之，就“平缓”.问题若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？不一定，应是f′(x)≥0.如f(x)=x3,x∈(-1,1)若函数单调递增，则若函数单调递减则结论例4：已知，函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．.,103)(2恒成立，由题意等价于xaxxf解：恒成立即：,1,32xxa,1,32xxxg设3132minxg3,a),0(,sin)()3(xxxxf33)()2(xxxfxxxfln)()5(（4）f(x)＝x＋lnx42)()1(2xxxf求下列函数的单调区间在某个区间(a,b)内,如果f'(x)0,那么函数在这个区间内单调递增；如果f'(x)0,那么函数在这个区间内单调递减；2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)0和f'(x)0;(4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。1.函数的单调性与导函数的正负的关系：1.函数f(x)=-3x3+x的单调递增区间是()A.-∞,-13∪13,+∞B.-13,13C.-33,33D.-∞,-13,13,+∞解析:函数的定义域为R,f'(x)=1-9x2,令f'(x)=1-9x20,得x219,所以-13x13,故单调递增区间是-13,13.答案:B2.下列函数在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=1𝑥-2D.y=sinx解析:对于函数y=1𝑥-2,其导数y'=-1(𝑥-2)20,且函数在区间(-1,1)上有意义,所以函数y=1𝑥-2在区间(-1,1)上是减函数,其余都不符合要求.答案:C3.函数f(x)=8x2-lnx的单调递减区间是.解析:函数定义域为(0,+∞),f'(x)=16x-1𝑥=16𝑥2-1𝑥,令f'(x)0得16x2-10,解得0x14,故单调递减区间是0,14.答案:0,144.求下列函数的单调区间:(1)f(x)=2x3-5x2;(2)f(x)=4x+1𝑥;(3)f(x)=x2-lnx;(4)f(x)=cosx+12x,x∈(0,π).自主解答:(1)函数定义域为R,f'(x)=6x2-10x.令f'(x)0,即6x2-10x0,解得x53或x0;令f'(x)0,即6x2-10x0,解得0x53.所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和53,+∞,单调递减区间是0,53.(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=4-1𝑥2.令f'(x)0,即4-1𝑥20,解得x12或x-12;令f'(x)0,即4-1𝑥20,解得-12x12,且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间是-∞,-12和12,+∞,单调递减区间是-12,0和0,12.(3)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-1𝑥.令f'(x)0,即2x-1𝑥0,解得x22;令f'(x)0,即2x-1𝑥0,解得0x22.所以函数f(x)的单调递增区间是22,+∞,单调递减区间是0,22.(4)x∈(0,π),f'(x)=-sinx+12.令f'(x)0,即-sinx+120,解得0xπ6或5π6xπ;令f'(x)0,即-sinx+120,解得π6x5π6;所以函数f(x)的单调递增区间是0,π6和5π6,π,单调递减区间是π6,5π6.5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)自主解答:由导函数f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,c)时,f'(x)0,当x∈(c,e)时,f'(x)0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)0.因此f(x)在(-∞,c)上单调递增,在(c,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.又因为abc,所以必有f(c)f(b)f(a).但f(b),f(c),f(d)以及f(b),f(a),f(e),f(c),f(e),f(d)的大小关系均无法做出判断,故选C.答案:C6.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是()解析:由y=f(x)的图象,知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上f'(x)≥0,在(0,+∞)上f'(x)≤0,故选D.答案:D7.如图为函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的图象可能为()解析:由导函数y=f'(x)的图象,可知当-1x3时,f'(x)0,所以y=f(x)在(-1,3)上单调递减;当x3或x-1时,f'(x)0,所以y=f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增.综上,函数y=f(x)的图象的大致形状如A中图所示,故选A.答案:A