线段及角的计算

线段及角的计算【例1】如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．DCBA【解法指导】由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，CD＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，而求得x的值，进而求出MC的长．解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M是AD的中点，∴MC＝MD－CD＝12AD－CD＝12×18－8＝1【变式题组】01．（河北）如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分MC∶CB＝1∶2，则线段AC的长度为（）MCBAA．2cmB．8cmC．6cmD．4cm02．（随州）已知线段AB＝16cm，点C在线段AB上，且BC＝13AC，M为BC的中点，则AM的长为________.03．（黄冈）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．【例2】已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．【解法指导】题中已说明P在AB所在直线上，即说明P点可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上（不可能在BA的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－MN）＝2（12AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm）；①PNMBA⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP＝2AN＝2（AM＋MN）＝2（12AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm）；BA②ANMPB所以AP的长为7cm或13cm【变式题组】01．（昆明）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是（）A．8cmB．9cmC．10cmD．8cm或10cm02．（十堰）如图C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（）ABDCA．3cmB．6cmC．11cmD．14cm4、如图，已知点C为AB上一点，AC＝18cm,CB＝32AC，D、E分别为AC、AB的中点.求DE的长.3．（佛山实验区）A车站到B车站之间还有3个车站，那么从A车站到B车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（）A．8B．9C．10D．11【例3】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬行相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．图（2）图（1）BABA【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短．解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB即为最短路线．【变式题组】1、如图，某人从A点出发，先至B点处牵牛，再EDCBA将牛带到河边喝水，请问他怎样走路程最短？请你在图中作出最短路线.河【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？EDCBA【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D，傍晚汽车在E休息，则AD＝12DC，EB＝12CE，AD＋EB＝12DE＝200，∴AB＝AD＋EB＋DE＝200＋400＝600．答：A、B两市相距600千米．【变式题组】01．（哈尔滨）已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为____cm．02．（银川）AB、AC是同一条直线上的两条线段，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，线段BC与MN的大小有什么关系？请说明理由．03．（河南）如图，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．ODCBA3．（2017秋•阜宁县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．变式训练01.如图①点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=90°）（1）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图②，使边OM恰好平分∠BOC，问ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC=60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系，请说明理由．演练巩固01．当AB＝5cm，BC＝3cm时，A、C两点间的距离是（）A．无法确定B．2cmC．8cmD．7cm02．下列说法正确的是（）A．延长直线ABB．延长线段ABC．延长射线ABD．延长线段AB03．若PA＋PB＝AB，则（）A．P点一定在线段AB上B．P点一定在线段AB外C．P点一定在AB的延长线上D．P点一定在线段BA的延长线上04．（内江）已知点C是线段AB上的一点，下列说法中不能说明点C是线段AB的中点是（）A．AC＝BCB．AC＝12ABC．AC＋BC＝ABD．2AC＝AB05．如图，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（）ABCDA．AC＞BDB．AC＝BDC．AC＜BDD．不能确定06．（黄冈）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间07．（广州）线段AB＝4cm，在直线AB上截取BC＝1cm，则AC＝________.08．（云南）延长线段AB到点C，使BC＝13AB，D为AC的中点，且DC＝6cm，则AB的长是________cm．09．在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．QPNMCBA10．线段AB上有两点M、N，点M将AB分成2∶3两部分，点N将AB分成4∶1两部分，且MN＝3cm，求AM、NB的长．11．如图，C是线段AB上一点，D是线段BC的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度是多少？ACDB12．如图B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．MABCD13、如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P是NA的中点，Q为MA的中点，求MN﹕PQ的值。14.如图点D,E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2:5.两部分，点E分AB为4:5两部分，若DE=5厘米，求AB的长15、如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点AB．点BC．A，B之间D．B，C之间16.C，D是线段AB上任意两点，M，N分别是AC，BD的中点，若CD=a，MN=b，则AB的长为（）A．2b-aB．b-aC．2b+aD．以上均不对17.往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有()种不同的票价（来回票价一样），需准备_____种车票．18.在一条线段上取n个点，这n个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n=______．19.如下图，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角（）个．20.如图，角AOB等于90度，ON是角AOC的平分线，OM是角BOC的平分线，求角MON的大小21.如图,OM,OB,ON是角AOC内的三条射线，OM,ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，∠NOC是∠AOM的3倍，∠BON比∠MOB大30°，求∠AOC的度数22某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？23.钟面上从3点到4点，时针与分针夹角成60°角时，此时是3点（）分．24.阅读材料：多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．下图给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．请你按照上述方法将下图中的五边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n边形．培优升级01．如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于（）QPBMNACA．1B．2C．3D．402如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，若想求出MN的长度，则只需条件（）lMNBACA．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D．CN＝203．（襄樊）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④04．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（）A．6条B．1条或3条或6条C．1条或4条D．1条或4条或6条05.如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（）GFEDABCA．A处B．C处C．G处D．E处06．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝a，BC＝b，则AD＝（）NMDABCA．a＋bB．a＋2bC．2b－aD．2a－b7．如图AC＝13AB，BD＝14AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（）EDABCA．16B．18C．112D．1168.平面内两两相交的10条直线，其交点个数最少为_____个，最多为______个．9．已知A、B、C三点在一条直线上，若线段AB＝60，其中点为M，线段BC＝20，其中点为N，求MN的长．