§2.3-几种特殊的矩阵

首页上一页下一页结束《线性代数》(第四版)教学课件§23几种特殊的矩阵(一)对角矩阵(二)数量矩阵(三)单位矩阵(四)三角形矩阵(五)对称矩阵《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)对角矩阵对角矩阵如果n阶矩阵A(aij)中的元素满足条件aij0ij(i,j1,2,,n)则称A为n阶对角矩阵即1122nnaaaA《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束提示(一)对角矩阵对角矩阵1122nnaaaA对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵1122nnakaakakaka《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束提示(一)对角矩阵对角矩阵1122nnaaaA对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵11112222nnnnabababababab《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束提示(一)对角矩阵对角矩阵1122nnaaaA对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵11112222nnnnabababababab《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)对角矩阵对角矩阵1122nnaaaA对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵显然如果A是对角矩阵则ATA《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)数量矩阵数量矩阵如果n阶对角矩阵A中的元素a11a22anna则称A为n阶数量矩阵即aaaA《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)数量矩阵数量矩阵aaaA数量矩阵的性质以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B其乘积等于以数a乘矩阵B提示000000aaa111212122212llnnnlbbbbbbbbb111212122212llnnnlababababababababab000000aaa111212122212llnnnlbbbbbbbbb111212122212llnnnlababababababababab《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)数量矩阵数量矩阵aaaA数量矩阵的性质以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B其乘积等于以数a乘矩阵B提示000000aaa111212122212llnnnlbbbbbbbbb111212122212llnnnlababababababababab111212122212llnnnlbbbbbbabbb《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(三)单位矩阵单位矩阵如果n阶数量矩阵A中元素a1则称A为n阶单位矩阵记作In(或En)有时简记为I(或E)即111nI单位矩阵的性质ImAmnAmnAmnInAmn对于n阶矩阵A规定A0I单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(四)三角形矩阵上三角形矩阵如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件aij0ij(i,j1,2,,n)则称A为n阶上三角形矩阵即11121222nnnnaaaaaaA《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(四)三角形矩阵上三角形矩阵11121222nnnnaaaaaaA下三角形矩阵如果n阶矩阵B(bij)中元素满足条件bij0ij(i,j1,2,,n)则称B为n阶下三角形矩阵即11212212nnnnbbbbbbB《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(四)三角形矩阵上三角形矩阵11121222nnnnaaaaaaA下三角形矩阵三角形矩阵的性质若AB为同阶同结构三角形矩阵容易验证kAABAB仍为同阶同结构三角形矩阵11212212nnnnbbbbbbB《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例(五)对称矩阵对称矩阵如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji(i,j1,2,,n)则称A为对称矩阵例如111011020211132均为对称矩阵对称矩阵A的元素关于主对角线对称因此有ATA对称矩阵的性质数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵但对称矩阵乘积未必对称《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(五)对称矩阵对称矩阵如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji(i,j1,2,,n)则称A为对称矩阵对称矩阵A的元素关于主对角线对称因此有ATA对称矩阵的性质数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵但对称矩阵乘积未必对称对任意矩阵AATA和AAT都是对称矩阵《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束例1设A与B是两个n阶对称矩阵证明当且仅当A与B可交换时AB是对称的由于A与B都是对称矩阵所以ATABTB如果ABBA则有证所以AB是对称的(AB)TBTATBAAB反之如果AB是对称的即(AB)TAB则有即A与B可交换AB(AB)TBTATBA