等差数列知识点总结材料

标准文案第一讲数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：na；2、前n项和：nS3、关系：1(2)nnnaSSn二、性质：1、单调性：增数列：1nnaa；减数列：1nnaa；常数列：1nnaa2、最值：77878789+++(0)0,00,=0,0,nnaSaaSSSaaa最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反3、前n项积nT有最大值：三、几种常见数列：1、-1,7,-13,192、7,77,777,3、135248，，4、161149，，，5、2468,3153563，，★随堂训练：标准文案1、已知数列{}na通项公式是231nnan，那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2、已知数列{}na满足10a，112nnaa，那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列3、已知数列{}na通项公式是22nankn，若对任意*nN，都有1nnaa成立，则实数k的取值范围是（）4、已知数列{}na通项公式是10,21nnnaTn是数列{}na的前n项积，即123nnTaaaa，当nT取到最大值是，n的值为（）5、设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值是（）标准文案等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.3．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝x＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝na1＋an2，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．最值问题在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．标准文案一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝na1＋an2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．基础训练：（公式的运用，定义的把握）1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）A．23B．24C．25D．264．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．5．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5标准文案考点1:等差数列的通项与前n项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知na为等差数列，20,86015aa，则75a对应练习：1、已知na为等差数列，qapanm,（knm,,互不相等），求ka.2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型2：已知前n项和nS及其某项，求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式dnaan)1(1求出1a及d，代入nS可求项数n；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出naa1，代入nS可求项数n.【例2】已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.标准文案4、已知nS为等差数列na的前n项和，100,7,141nSaa，则n.题型3：求等差数列的前n项和【解题思路】（1）利用nS求出na，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知nS为等差数列na的前n项和，212nnSn.（1）321aaa；⑵求10321aaaa；⑶求naaaa321.练习：对应练习：5、已知nS为等差数列na的前n项和，10,10010010SS，求110S.标准文案考点2：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；2、中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列；3、通项公式法：bknan（bk,是常数）na是等差数列；4、项和公式法：BnAnSn2（BA,是常数，0A）na是等差数列.【例4】已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列.对应练习：6、设nS为数列na的前n项和，)(NnpnaSnn，.21aa（1）常数p的值；（2）证：数列na是等差数列.考点3:等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；标准文案2、知nS为等差数列na的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS.对应练习：7、含12n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）.Ann12.Bnn1.Cnn1.Dnn218.设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba.考点4：等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用na与nS的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出nT后，判断nT的单调性.【例6】已知nS为数列na的前n项和，nnSn211212；数列nb满足：113b，nnnbbb122，其前9项和为.153⑴数列na、nb的通项公式；⑵设nT为数列nc的前n项和，)12)(112(6nnnbac，求使不等式57kTn对Nn都成立的最大正整数k的值.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列na是等差数列，且28a，155a，nS是数列na的前n项和，则标准文案A．1011SSB．1011SSC．910SSD．910SS2.在等差数列na中，1205a，则8642aaaa.3.数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n.4.已知等差数列na共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是.5.设数列na中，112,1nnaaan，则通项na.对应练习：9.已知nS为数列na的前n项和，31a，)2(21naSSnnn.⑴数列na的通项公式；⑵数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成标准文案立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由