9-1计数原理与排列组合

第1页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第2页返回导航数学第3页返回导航数学第1课时计数原理与排列组合第4页返回导航数学一、计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．N＝m＋n第5页返回导航数学2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．N＝m×n第6页返回导航数学二、排列与组合1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照排成一列组合合成一组一定的顺序第7页返回导航数学2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示．所有不同排列所有不同组合第8页返回导航数学公式(1)Amn＝＝n！n－m！(2)Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质(1)0！＝；Ann＝(2)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n3．排列数、组合数的公式及性质n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！第9页返回导航数学三、判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)第10页返回导航数学(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(√)(5)在分步乘法计算原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)(6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)第11页返回导航数学(8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(9)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(10)Amn＝nAm－1n－1.(√)第12页返回导航数学考点一计数原理及应用命题点1.分类加法计数原理的应用2.分类乘法计数原理的应用3.两个原理的综合应用第13页返回导航数学[例1](1)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种第14页返回导航数学解析：法一：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．第15页返回导航数学法二：班级按a，b，c，d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：∴共有9种不同的监考方法．答案：B第16页返回导航数学(2)(2016·高考全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9第17页返回导航数学解析：分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.答案：B第18页返回导航数学(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24第19页返回导航数学解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共有36＋12＝48个，故选B.答案：B第20页返回导航数学[方法引航]1.使用分类加法原理时首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2．(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．第21页返回导航数学(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3．使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．第22页返回导航数学1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A．30B．20C．10D．6第23页返回导航数学解析：选D.从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两类都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．第24页返回导航数学2．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．第25页返回导航数学解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．答案：186第26页返回导航数学3．已知集合M＝{1，－2,3)，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18B．10C．16D．14第27页返回导航数学解析：选D.分两类：(1)M中的元素作点的横坐标，N中元素作点的纵坐标，在一、二象限的点共有3×2个；(2)M中的元素作点的纵坐标，N中元素作点的横坐标，在一、二象限的点有2×4个，故所求不同点的个数为3×2＋2×4＝14(个)．第28页返回导航数学考点二排列问题命题点1.有限制条件的排列2.相邻元素的排列3.不相邻元素的排列4.定序问题的排列第29页返回导航数学[例2](1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．第30页返回导航数学解析：法一：可先排C、D、E三人，共有A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种)．法二：五人全排列，共A55种排法，其中B站在A的右边或左边对半，故所求排法种数为12A55＝60(种)．答案：60第31页返回导航数学(2)(2017·山东临沂检测)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？①甲不在中间也不在两端；②甲、乙两人必须排在两端；③男女相间．第32页返回导航数学解：①法一：(元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有A88种排法，故共有6·A88＝241920(种)排法．法二：(位置分析法)：从甲外的8人排中间和两端有A38种排法，包括甲在内的剩余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241920(种)排法．法三：(等机会法)：9个人全排列有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数有A99×69＝241920(种)．第33页返回导航数学法四：(间接法)：将4男5女共9人全排列有A99种排法，应去掉甲排中间有的A88种，去掉甲排两端的有2A88种．故有A99－3·A88＝6A88＝241920(种)．②先排甲、乙，再排其余7人．共有A22·A77＝10080(种)排法．③(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2880(种)排法．第34页返回导航数学[方法引航]排列问题的常用技巧捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法第35页返回导航数学1．将本例(1)改为：A，B，C，D，E排一排，其中A，B，C顺序固定，有多少种排法．第36页返回导航数学解：假如有五个位置，先排好D，E两人，剩余的三个位置就按A，B，C的固定顺序安排，只有一种方法，故A25＝5×4＝20.第37页返回导航数学2．在本例(2)条件下，若甲，乙二人不相邻，有多少种排法．第38页返回导航数学解：先排其余7人，有A77种方法，产生8个“空位”，甲乙二人插空有A28，共有A77·A28种方法．第39页返回导航数学考点三组合问题命题点1.某元素含在内部2.某元素不含在内部3.“至多，至少”含元素第40页返回导航数学[例3]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？第41页返回导航数学解：(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．第42页返回导航数学(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．第43页返回导航数学[方法引航]1“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2“至少”、“至多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.第44页返回导航数学1．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．6种B．12种C．18种D．20种第45页返回导航数学解析：选D.分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输一局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．第46页返回导航数学2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：①甲、乙所选的课程中