西安交通大学传热学课件4-1

1/53传热学HeatTransfer第四章导热问题的数值解法NumericalMethodforheatconduction2/53传热学HeatTransferCFD/NHT/CHTComputationalFluidDynamicsNumerical/ComputationalHeatTransferColorfulAmazing3/53传热学HeatTransferComsolNumeca4/53传热学HeatTransfer5/53传热学HeatTransfer6/53传热学HeatTransfer7/53传热学HeatTransfer8/53传热学HeatTransfer9/53传热学HeatTransfer本章内容导热问题数值求解的基本思想内节点离散方程的建立方法边界节点离散方程的建立代数方程组的求解非稳态导热问题的数值解法10/53传热学HeatTransfer介绍数值求解物理问题的基本思想；以二维稳态导热问题和一维非稳态导热为例，介绍采用有限差分法数值求解导热问题的基本过程从能量守恒定律出发建立离散方程的方法代数方程的迭代求解方法非稳态导热数值解法的基本概念内容简介：学习重点：11/53传热学HeatTransfer§4-1数值求解的基本思想一、基本思想分析解：对导热微分方程在定解条件下的积分求解数值解：用求解区域上空间、时间坐标系中的离散点的温度分布代替连续的温度场，用大量的代数方程代替微分方程连续离散微分方程代数方程12/53传热学HeatTransfer温度13/53传热学HeatTransfer),,,(zyxft14/53传热学HeatTransfer①分析解分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见能获得研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据局限性很大，对复杂问题无法求解15/53传热学HeatTransfer②数值解弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性，原则上可以求解一切导热问题。2D、3D、复杂几何形状、复杂BC、物性不均匀等近似解与实验法相比成本低16/53传热学HeatTransfer二、基本步骤yx0HWh,tfq=0h,tfq=0物理问题：2D、矩形域、稳态、无内热源、常物性的导热问题，IIBC&IIIBC17/53传热学HeatTransfer1、数学描写22220ttxy0xHx()fthttx0yWy)(ftthyt0tx0tyyx0HWh,tfq=0h,tfq=018/53传热学HeatTransfer温度19/53传热学HeatTransfer将求解区域按照一定规则划分为许多小区域，这个过程称作区域离散。每个小的区域(控制容积,CV)的物理量值由一个点—节点来表示2、区域离散xymnxyMN20/53传热学HeatTransfer四个几何要素：（1）节点（node)：所求解未知量的位置（2）控制容积（controlvolume)：节点的影响域（3）界面（interface)：控制容积的分界位置（4）网格线（gridlines)：沿坐标方向相邻节点连接成的线簇21/53传热学HeatTransfer每一个节点都与它相邻的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（代数方程式），此关系式又称为节点的离散方程。3、建立节点物理量的代数方程(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)2,1mM2,1nN1,1,,1,1,,,,nmnmnmnmnmttttft22/53传热学HeatTransfer4、求解代数方程组把所有节点的离散方程联立起来，会组成一个封闭的方程组，对代数方程组的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。1,1,,1,1,,,,nmnmnmnmnmttttft23/53传热学HeatTransfer5、解的分析热流量（或热流密度）热应力分析肋片效率……24/53传热学HeatTransfer25/53传热学HeatTransfer三、内节点离散方程的建立26/53传热学HeatTransfer1、Taylor级数展开法2222,,0mnmnttxy223341,,23,,,()2!3!mnmnmnmnmnttxtxttxoxxxx223341,,23,,,()2!3!mnmnmnmnmnttxtxttxoxxxx27/53传热学HeatTransfer)(222,1,,1,22xoxtttxtnmnmnmnm截断误差未明确写出的级数余项中的Δx的最低阶数为2223341,,23,,,()2!3!mnmnmnmnmnttxtxttxoxxxx223341,,23,,,()2!3!mnmnmnmnmnttxtxttxoxxxx28/53传热学HeatTransfer)(2221,,1,,22yoytttytnmnmnmnm1,,1,,1,,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy,1,1,,1,114mnmnmnmnmnttttt如果Δx=Δy)(222,1,,1,22xoxtttxtnmnmnmnm中心差分2222,,0mnmnttxy29/53传热学HeatTransfer注意:①数值解是一种近似解②各阶导数的差分表达式分子各项系数代数和为零优点：简单缺点：网格不均匀；导热系数变化1,,1,,1,,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy30/53传热学HeatTransfer2、热平衡法（重点！）②依据定律：能量守恒定律；Fourier导热定律①基本思想：对每个节点所代表的控制体列能量守恒方程式，从而得出该点与其它节点的关系式(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)nesw31/53传热学HeatTransfer③具体推导(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswxyxttyΦnmnmw,,1)1(yttxΦnmnmn,1,)1(规定导入热量为正xttyΦnmnme,,1)1(yttxΦnmnms,1,)1(wesnΦΦΦΦ032/53传热学HeatTransfer(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswxy1,,1,,1,,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy33/53传热学HeatTransfer(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswxyxttyΦnmnmw,,1)1(yttxΦnmnmn,1,)1(xttyΦnmnme,,1)1(yttxΦnmnms,1,)1(wesnΦΦΦΦ01,,(1)mnmnwttΦxy导热热阻34/53传热学HeatTransfer热电比拟35/53传热学HeatTransfer§4-2边界节点离散方程建立及代数方程求解一、原因及方法原因：(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswxy第一类边界条件：边界温度已知，代数方程组封闭第二、三类边界条件：边界温度未知，代数方程组不封闭36/53传热学HeatTransfer二、建立IIBC&IIIBC边界节点离散方程假设物体内部有内热源，网格均匀,()wfmnqhttwq方法：能量守恒法，边界条件约定以进入为正37/53传热学HeatTransfer1.平直边界xyqw(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)yxttnmnm,,1yqw2,1,xyttnmnm2,1,xyttnmnm02,yxnm38/53传热学HeatTransfer2.外角点2,,1yxttnmnm2wyq2,1,xyttnmnm2wxq022,yxnmqwxy(m,n)(m,n-1)(m-1,n)qw39/53传热学HeatTransfer3.内角点yxttnmnm,,12wyq2,1,xyttnmnmxyttnmnm,1,043,yxnm2,,1yxttnmnm2wxqxyqw(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)(m+1,n)40/53传热学HeatTransfer三、不规则边界阶梯逼近法41/53传热学HeatTransfer写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat..............................................................2211222221212112121111代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法四、代数方程组求解42/53传热学HeatTransfer1.直接解法①Cramer法则111222caxbycaxby11221122cbcbxabab11221122acacyabab43/53传热学HeatTransfer求解n阶线性方程组，需计算n+1个行列式，如果取n=20，N=9.7×1020，每个行列式是n！个乘积的和，每个乘积是n个数相乘，需要做n-1次乘法，共需乘法次数(n+1)n!(n-1)，1万亿次乘法/s的计算机，需计算30.8年44/53传热学HeatTransfer②Gauss消元法共需乘法次数n3/3+n2-n/3，如果取n=20，N=3060适用变量个数小于50直接解法缺点所需内存大；不适用于非线性问题。111222caxbycaxby45/53传热学HeatTransfer2.迭代法（Iteration）假设初场①Jacobi迭代：迭代代入值总为上轮得到的值不断更新收敛)(1)(1)(212)(111)1(1......kknnkkkbtatatat46/53传热学HeatTransfer②Gauss-Seidel迭代：将本轮得到的值也代入)()()1(11)1(22)1(11)1()(3)(3)1(232)1(131)1(3)(2)(2)(222)1(121)1(2..............................................................................knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat•计算机内存更省•收敛更快)(1)(1)(212)(111)1(1......kknnkkkbtatatat47/53传热学HeatTransfer是否合理？1,,iimnmntt1,,1,iimnmnimnttt1,,maxiimnmnttt分母可能为零,kimnt③迭代收敛分母加上一个小量48/53传热学HeatTransfer④主对角元占优原则迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其它变量系数绝对值的代数和，此时，用迭代法求解代数方程，一定收敛用热平衡法建立的