高中空间向量试题

高二数学第1页高二数学单元试题1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（）A．1B．51C．53D．572．已知的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23（）A．－15B．－5C．－3D．－13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OCOBOAOMB．OCOBOAOM2C．OCOBOAOM3121D．OCOBOAOM3131314．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），则a与b的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为A．2B．3C．4D．56．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．37．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则AB+1()2BDBC等于（）A．AGB．CGC．BCD．21BC8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，1CCc，则1AB（）A．abcB．abcC．abcD．abc9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA、1DC、11CA是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量10．已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且3||||ACAB,则点的坐标是()A．715(,,)222B．3(,3,2)8C．107(,1,)33D．573(,,)22211．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0,0,0ADACADABACAB，则△BCD是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定12．（理科）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为（）A．1010B．11112C．53D．1二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a∥b,则与的值分别是．14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m，n的夹角为．15．已知向量a和c不共线，向量b≠0，且()()abcbca，d＝a＋c，则,db＝．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶高二数学第2页zyxSBCDADPBACE点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为三．解答题（本大题6小题，共74分）17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．18．（本小题满分12分）在正方体1111DCBAABCD中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB，ＣＤ的中点，（1）求证：FD1平面ADE；（2）cos1,CBEF．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，DCPD，E是PC的中点，作PBEF交PB于点F.（1）证明∥PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD．20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12．（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小zyxFED1C1B1A1DCBA高二数学第3页22．（本小题满分14分）P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，2,1,4,AB4,2,0,AD1,2,1AP.（1）求证：PA平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)axyzbxyz，定义一种运算：()abc123231312132213321xyzxyzxyzxyzxyzxyz，试计算()ABADAP的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算()ABADAP的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=13底面积高）.空间向量答案一．选择题题号123456789101112答案DADCBAADCCCB二．填空题13．51、21．14．60°15．90°16．6三．解答题（本大题6小题，共74分）17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)(2)∵→AB1＝(0,-2,2)，→ED1＝(0,1,2)∴|→AB1|＝22，|→ED1|＝5，→AB1·→ED1＝0－2＋4＝2,∴cos→AB1，→ED1＝→AB1·→ED1|→AB1|·|→ED1|＝222×5＝1010．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为1010．18．（本小题满分12分）在正方体1111DCBAABCD中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB，ＣＤ的中点，（1）求证：FD1平面ADE；（2）cos1,CBEF．zyxFED1C1B1A1DCBA高二数学第4页zyxSBCDA解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），1D（0，0，1），E（1，1，21），F（0，21，0），则FD1＝（0，21，－1），AD＝（1，0，0），AE＝（0，1，21），则DAFD1＝0，AEFD1＝0，DAFD1，AEFD1.FD1平面ADE.（２）1B（1，1，1），C（0，1，0），故1CB＝（1，0，1），EF＝（－1，－21，－21），1CBEF＝－1＋0－21＝－23，2341411EF，21CB，则cos2322323,111CBEFCBEFCBEF.150,1CBEF19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，DCPD，E是PC的中点，作PBEF交PB于点F.（1）证明∥PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD．解：解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设.DCa(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得(,0,0),(0,0,),(0,,)22aaAaPaE底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,,0)22aa且(,0,),(,0,).22aaPAaaEG2PAEG.这表明EGPA∥.而EG平面EDB且PA平面EDB，PA∥平面EDB。(2)证明：依题意得(,,0),(,,)BaaPBaaa。又(0,,),22aaDE故022022aaDEPBPBDE,由已知EFPB，且,EFDEE所以PB平面EFD.20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12．（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．解：（1）63（2）6321．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.高二数学第5页DPBACE（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小（1）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.3022．（本小题满分14分）P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，2,1,4,AB4,2,0,AD1,2,1AP.（1）求证：PA平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)axyzbxyz，定义一种运算：()abc123231312132213321xyzxyzxyzxyzxyzxyz，试计算()ABADAP的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算()ABADAP的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=13底面积高）.解：（1）(2,1,4)(1,2,1)2(2)40APABAPABAPAB即(1,2,1)(4,2,0)4400APADAPADPAADADABCD即面（2）348,105ABADAPABAD又cosV＝1sin163ABADABADAP猜测：ABADAP在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）高二数学第6页