高考理科数学一轮导数的概念及其运算

第三章导数第1讲导数的概念及其运算考纲展示考纲解读1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的导数.4.能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.常见的基本初等函数的导数公式:C'=0(C为常数);(xn)'=nxn-1(n∈N*);(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx;(ex)'=ex;(ax)'=axlna(a0,且a≠1);(lnx)'=1𝑥;(logax)'=1𝑥logae(a0,且a≠1).常用的导数运算法则:法则1[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x).法则2[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).法则3𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)'=𝑢'(𝑥)𝑣(𝑥)-𝑢(𝑥)𝑣'(𝑥)𝑣2(x)(v(x)≠0).1.导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不单独命题,而在考查导数应用的同时进行考查.2.导数的几何意义是高考重点考查的内容,常与解析几何知识交汇命题.3.多以选择题和填空题的形式出现,有时也出现在解答题中关键的一步.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为𝑓(𝑥2)-f(𝑥1)𝑥2-𝑥1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为Δ𝑦Δ𝑥.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|𝑥=𝑥0,即f'(x0)=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).3.函数f(x)的导函数称函数f'(x)=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥为函数f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=cf'(x)=0f(x)=xα(α∈Q*)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=axf'(x)=axlna(a0,且a≠1)f(x)=exf'(x)=exf(x)=logaxf'(x)=1𝑥ln𝑎(a0,且a≠1)f(x)=lnxf'(x)=1𝑥5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2〔g(x)≠0〕.6.求切线方程的步骤已知曲线C:y=f(x),求过点P(x0,y0)的曲线C的切线方程.其步骤为:第一步:判定P点是否在曲线C上;第二步:求导数y'=f'(x);第三步:若P点在曲线C上,则所求切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);若P点不在曲线C上,可设切点为(x1,y1),由𝑦1=f(𝑥1),𝑦0-𝑦1=f'(𝑥1)(𝑥0-𝑥1)解出x1,进而确定过P点的曲线C的切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1).7.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.已知函数f(x)=2x2-1图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则Δ𝑦Δ𝑥等于()A.4B.4+2ΔxC.4+ΔxD.4Δx+(Δx)2【答案】B【解析】∵Δy=[2(1+Δx)2-1]-2×12+1=4Δx+2(Δx)2,∴Δ𝑦Δ𝑥=4Δ𝑥+2(Δ𝑥)2Δ𝑥=4+2Δx.2.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-12gt2(取g=10m/s2),则当t=2s时,该汽车的加速度是()A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s2【答案】A【解析】由v(t)=s'(t)=6t2-gt,a(t)=v'(t)=12t-g,得t=2时,a(2)=v'(2)=12×2-10=14(m/s2).3.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=(x-1)2+3(x-1)B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-1【答案】A【解析】本小题主要考查多项式函数的导数,以及导数的四则运算等基础知识.题中所给四个选项的导函数分别为f'(x)=2(x-1)+3;f'(x)=2;f'(x)=4(x-1);f'(x)=1.代入验证知选A.4.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为()A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5【答案】B【解析】由y'=3x2-6x在x=1处的值为-3,知切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.5.函数y=𝑥2sin𝑥的导数为.【答案】y'=2𝑥sin𝑥-𝑥2cos𝑥sin2x【解析】y'=(𝑥2)'·sin𝑥-𝑥2·(sin𝑥)'sin2x=2𝑥sin𝑥-𝑥2cos𝑥sin2x.T题型一导数的概念例1设函数f(x)在点x0处可导,求limℎ→0𝑓(𝑥0+h)-f(𝑥0-h)2ℎ的值.由已知可得limℎ→0𝑓(𝑥0+h)-f(𝑥0)ℎ=f'(x0),而所求式子中有两个关于h的式子,而少f(x0),故需在式子中添加f(x0).【解】原式=limℎ→0𝑓(𝑥0+h)-f(𝑥0)+f(𝑥0)-f(𝑥0-h)2ℎ=12limℎ→0𝑓(𝑥0+h)-f(𝑥0)ℎ+lim-ℎ→0𝑓(𝑥0-h)-f(𝑥0)-ℎ=12[f'(x0)+f'(x0)]=f'(x0).概念是分析解决问题的重要依据,熟练掌握概念的本质属性,把握其内涵与外延,才能灵活地应用概念进行解题,解决这类问题的关键是等价变形.1.在导数的定义中,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪一种形式,相应的Δy也必须选择相应的形式,如将Δx变为mΔx(m≠0),则Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+mΔ𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑚Δ𝑥=lim𝑚Δ𝑥→0𝑓(𝑥0+mΔ𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑚Δ𝑥=f'(x0).2.由Δx→0也可以得到mΔx→0,故在式子limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+mΔ𝑥)-𝑓(𝑥0)𝑚Δ𝑥中可以直接将Δx→0换为mΔx→0.1.用定义法求下列函数的导数.(1)y=x2;(2)y=4𝑥2.【解】(1)因为Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥=(𝑥+Δ𝑥)2-𝑥2Δ𝑥=𝑥2+2x·Δ𝑥+(Δ𝑥)2-𝑥2Δ𝑥=2x+Δx,所以y'=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0(2x+Δx)=2x.(2)因为Δy=4(𝑥+Δ𝑥)2-4𝑥2=-4Δ𝑥(2𝑥+Δ𝑥)𝑥2(x+Δ𝑥)2,Δ𝑦Δ𝑥=-4·2𝑥+Δ𝑥𝑥2(x+Δ𝑥)2,所以y'=lim𝛥𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0-4·2𝑥+Δ𝑥𝑥2(x+Δ𝑥)2=-8𝑥3.T题型二导数的运算例2求下列各函数的导数:(1)y=𝑥+𝑥5+sin𝑥𝑥2;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=sin𝑥21-2cos2𝑥4.先把式子化为最简式再进行求导.【解】(1)∵y=𝑥12+𝑥5+sin𝑥𝑥2=𝑥-32+x3+sin𝑥𝑥2,∴y'=𝑥-32'+(x3)'+(x-2sinx)'=-32𝑥-52+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(2)方法一:∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y'=3x2+12x+11.方法二:y'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(3)∵y=sin𝑥2-cos𝑥2=-12sinx,∴y'=-12sin𝑥'=-12(sinx)'=-12cosx.求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣求导法则,联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要进行适当的恒等变形.2.求下列函数的导数:(1)y=xnex;(2)y=cos𝑥sin𝑥;(3)y=exlnx;(4)y=(x+1)2·(x-1).【解】(1)y'=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x).(2)y'=-sin2x-cos2xsin2x=-1sin2x.(3)y'=exlnx+ex·1𝑥=ex1𝑥+ln𝑥.(4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1,∴y'=3x2+2x-1.T题型三导数的几何意义例3已知一曲线方程为y=x2,(1)求过A(2,4)点且与该曲线相切的直线方程;(2)求过B(3,5)点且与该曲线相切的直线方程.(1)点A在曲线上,即求在A点的切线方程.(2)点B不在曲线上,设出切点求切线方程.【解】(1)∵点A在曲线y=x2上,∴过点A与曲线y=x2相切的直线只有一条,且A为切点.由y=x2,得y'=2x,因此y'|x=2=4.故所求直线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)方法一:点B不在曲线y=x2上.设过B(3,5)点与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,由𝑦=𝑘𝑥+5-3𝑘,𝑦=𝑥2,得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0.整理得(k-2)(k-10)=0,解得k=2或k=10.故所求的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.方法二:设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2得y'=2x,于是y'|𝑥=𝑥0=2x0,由已知得kPB=2x0,即5-𝑦03-𝑥0=2x0.又y0=𝑥02,代入上式整理得x0=1或x0=5,因此切点坐标为(1,1),(5,25).故所求直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”的问法.(2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标为P(x0,y0),然后求其切线斜率k=f'(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.3.(2012·广东卷,12)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.【答案】2x-y+1=0【解析】由y=x3-x+3得y'=3x2-1,因此所求切线的斜率k=y'|x=1=3×12-1=2.故所求切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.T题型四复合函数的导数例4求下列复合函数的导数:(1)y=(2x-3)5;(2)y=3-𝑥;(3)y=sin22𝑥+π3;(4)y=ln(2x+5).先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导,不能遗漏,每一步对谁求