052最优风险资产组合

投资学第3章优化风险投资组合2本章逻辑：风险资产组合与风险分散化原理风险资产组合的优化从资本配置到证券选择31分散化与投资组合风险投资组合的风险来源：来自一般经济状况的风险(系统风险，systematicrisk/nondiversifiablerisk)特别因素风险(非系统风险,uniquerisk/firm-specificrisk/nonsystematicrisk/diversifiablerisk)风险来源系统性风险指由于某种全局性的共同因素引起的投资收益的可能变动，这种因素以同样的方式对所有资产的收益产生影响。系统性风险来自于社会、政治、经济等方面，是单个资产无法抗拒和回避的，所以又叫做不可回避风险；由于这些风险不可能通过分散化原理分散，又叫做不可分散风险。主要的系统性风险有：市场风险、利率风险、通货膨胀风险、流动性风险、政策风险等。系统性风险市场风险。这是金融投资中最常见，也是最普通的风险。市场风险涉及股票、债券、期货期权、票据、外币、基金等有价证券及衍生品，也涉及房地产、贵金属、国际贸易等有形投资，资产投资及项目投资。这种风险来自于市场买卖双方供求不平衡引起的价格波动，这种波动使得投资者在投资到期时可能得不到投资决策时所预期的收益，甚至造成本金损失。利率风险。利率风险也称货币风险或信用风险，指因银行利率变动而影响货币市场利率变动，从而引起证券市场价格变动，导致证券投资收益损失的可能性。一般来说，利率与证券价格成反方向变化。系统性风险购买力风险。购买力风险又叫通货膨胀风险，是指由于通货膨胀造成的货币贬值，货币购买力下降使投资者遭受损失的可能性。一般来讲，证券到期日越长，遭受购买力风险的可能性越大。流动性风险，流动性风险也称变现力风险，是指投资者将证券变现而发生损失的可能性。政策风险。政策风险主要是指政府宏观经济政策及其证券市场的管理措施对证券投资带来损失的可能性。风险来源非系统性风险指由于某种单一的、局部性的因素引起的投资收益的可能变动，这种因素只对相关资产的收益产生影响。非系统性风险主要来自公司方面，诸如信用、经营、财务等方面，可在很大程度上回避，所以又叫可回避风险、可分散风险。主要的非系统风险有：信用风险、经营风险、财务风险等。非系统性风险经营风险。经营风险是指由于企业经营的主客观方面的因素而给投资者造成的损失可能性。经营风险可以分为外部风险和内部风险两方面。外部风险是指企业经营的经济环境和条件所引起的风险；内部风险主要是指由于企业经营管理不善而给投资者带来的风险。财务风险。财务风险有时也叫拖欠风险，是指企业因采取不同的融资方式而带来的风险。财务风险可以通过对企业的资本结构进行分析而确定。信用风险。违约风险是指证券发行人不能对某一证券按期支付利息或股息以及到期偿还本金而给证券投资者带来的风险。a.可分散化风险b.不可分散化风险——市场系统风险投资组合风险分解图投资组合分散化10投资组合的收益投资组合的期望收益率就是组成投资组合的各种投资项目的期望报酬率的加权平均数，其权数是各种投资项目在整个投资组合总额中所占的比例。其公式为：n1iii)(EWERRP）（Wi代表投资比例投资组合的风险三个因素决定：组合中各个证券的风险组合中各个证券之间的相互关系构成比例——分配在各项资产上的资金占资金总数的比例。211221221121212211P2)R,COV(RW2投资组合风险的计算可能的情况出现的概率(%)X股票收益(%)Y股票收益(%)政府债券收益(%)牛市502515熊市3010-55异常年份20-25355期望收益%10.565标准差18.914.730假定有两个公司的股票和政府债券的收益和风险状况如下：示例：续如果按照各占50%的比例，把资产投资于x股票和政府债券，该组合的收益与风险如何？组合的收益为：E(R)=0.5×10.5%+0.5×5%=7.75%组合的风险为:σ=(0.5×18.9%+0.5×0%)=9.45%。相对单一持有X股票，资产组合的风险溢价由X股票的5.5%，下降为2.75%，同时其风险也由18.9%，下降为9.45%，风险下降了一半。示例：续如果把X股票与Y股票组合，又如何？按照各占50%的比例，把资产投资于X股票和Y股票，资产组合的期望收益为E(R)=0.5×10.5%+0.5×6%=8.25%，组合的风险呢？需要分析X与Y间收益相互影响的方向与程度。示例：续X、Y的组合的协方差为：COV(RX,RY)=0.5×(25%-10.5%)×(1%-6%)+0.3×(10%-10.5%)×(-5%-6%)+0.2×(-25%-10.5%)×(35%-6%)=-0.02405说明X、Y之间的收益呈反向变化。示例：续X、Y的相关系数0.8614.73%18.9%0.02405))σ(Rσ(R)R,COV(R)R,ρ(RYXYXYXX与Y的收益具有较强的负相关性示例：续X股票与Y股票的组合的方差为：标准差为：可以看出，该组合相对于政府债券的组合更具有优势。一方面取得了较高的收益，另一方面标准差较小。222222(%73.14%9.18)86.0(5.05.027314(5.0%)9.18(5.04.83%))%.(P)σ%83.4P）（两种以上资产组合的收益及风险收益：方差：标准差：niiiPREWRE1)()(),()()(112122jninijjijiiniiRRCovwwRwPR)(2PPR20组合的机会集与有效集资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ空间中的一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界、有效前沿（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。有效前沿的定义：设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p)，具有如下性质：1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大的期望收益率。2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准差（或方差）。则称F(p)为有效前沿（efficientfrontier），简称前沿（边界）。表不同相关系数下的期望收益与标准差22图投资组合的期望收益为标准差的函数23有效集曲线的形状具有如下特点：（1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线是向左凸的；（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。253马科维茨的资产组合选择模型均值-方差（Mean-variance）模型是由HarryMarkowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化占优法则：投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。图TheMinimum-VarianceFrontierofRiskyAssets26271111mins.t.,1nnijijijniiinii11111212...=(,,...,)w=(,,...,),nnnnTnncrrrr若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有28对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijijiiiijii上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组29111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw和方程111niiiniiwrcw30这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。31正式证明:n项风险资产组合有效前沿假定1：市场上存在种风险资产，令Tn),,,(21代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：11niiw且卖空不受限制，即允许0iw2.也是一个n维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益2nTnrErEr))(,),((1rwrET)(323.使用矩阵表示资产之间的方差协方差，有111212122212nnnnnn0注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量判定定理：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。正定矩阵一定是非奇异的。0,aaaT都有33。）,(，2)(0),,(121为非奇异矩阵则是单位矩阵使如果存在一个矩阵列的非零矩阵行、对一个正定则称，都有如果对任何非零向量阶实系数对称矩阵，为、设AIIAB=BA=BAnndefinitepositiveMMXXxxxXnMTTn定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵34其中，是所有元素为1的n维列向量。由此构造Lagrange函数11)(..21minmin22TTTwTwwrErwtsT1)1,1(1，，)11())((21min,,wTTTwrwrEwwLs.t.=subjectto，使得...满足...（约束条件）35mnmnmnmnnTnxfxfxfxfXXfxxxxXxfxfXXfXXfXXfyxxX1111111111)()()()(,),,()1(，则：若的微商定义为：关于则的实函数，为为实向量若：矩阵微商公式36BXXBXXbBXXXXAXAXaaAxxXTnnijTTTnTn2)()(2)(,)(,),,(,),,()2(11为对称阵，则：若则于是，若：矩阵微商公式370=[0,0,…,0]T)3(011)2(0)()1(01TTwLrwrELrwwL令其一阶条件为0，得到方程组381)4()1()((1)11，得方程组：和再分别左乘以解得：由TTrrw)11()1(1)1()()(1111TTTTrrrrrE21111,11,11ABCDCrrBrrATTTT此时令：D)()(1)(rAEBDArCECAABrE解得则方程组变为391)(1)(1)1()()()((4)11