一起学奥数-最大公约数与最小公倍数(五年级)

风子编辑最大公约数与最小公倍数五年级教育目标掌握最大公约数与最小公倍数的概念，及两者的关系教育重点掌握用因数分解法、短除法、辗转相除法等求最大公约数或最小公倍数教育难点最大公约数和最小公倍数在实际问题中的应用学会求最大公约数和最小公倍数的方法能够运用最大公约数和最小公倍数解决实际应用问题第一课基础部分252014850819280165091例1、求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。【分析】题目给定的是三个数，我们一般可以采用短除法和因数分解法，因为数比价大，我们选择短除法。9三个数的数码和相加能被9整除280=23×5×71650=2×3×52×1191=7×13已找不出都能约的数从对280、1650和91三个数的因数分解，也可以看出，这三个数没有公约数了。所以，有（2520，14850，819）=9[2520,14850,819]=9×280×1650×91=5405400（a1，a2，a3，……，an）表示a1、a2、a3……an这n个数的最大公约数[a1，a2，a3，……，an]表示a1、a2、a3……an这n个数的最小公倍数例2、求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。【分析】求三个或三个以上数对最大公约数和最小公倍数，可以使用短除法和因数分解法。我们先对36、108、126进行因数分解36=22×32108=22×33126=2×32×7对三个数分解后，三个数共有的部分因数2×32=18就是最大公约数，最大公约数与非共有部分相乘18×2×3×7=756就是最小公倍数。下面用短除法试试：36108126412149三个数的数码和相加能被9整除这三个数都能被2整除2267三个数互质，已找不出都能约的数所以：（36，108，126）=18[36，108，126]=9×2×2×1×3×7=7562137三个数两两互质说说短除法与因素分解法的优缺点求最大公约数：1）必须每次都用n个数的公约数去除；2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n个数的最小公倍数：1）必须先用n个数的公约数去除，直至商互质，再用n-1个数的公约数去除，直至这n-1个数互质，并依次下去；2）只要还有两个数能够被同一个数整除，就要继续除，直至n个数的商两两互质；3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例3、夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走。小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长多少米？【分析】有两个问题需要问下大家。为什么雪地上留下的脚印是60个呢？脚印和长度之间有什么关系呢？我们来演示一下，小龙和爸爸步测花园的过程。因为[54,72]=216，即每216厘米，两个人又处于相同的位置。而216÷54=4，216÷72=3，即此时小龙走了4步，爸爸走了3步。因为被框起来的脚印是在同一个位置，小龙走在了爸爸的脚印上，所以我们只能看到一个。即两个人每216厘米有6个脚印。所以，60个脚印，是由60×6=10组这样的脚印组成。则这条小路的长为216×10=2160厘米，即21.6米。例4、设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b对于任意不等于零的两个自然数a、b恒有（a，b）×[a，b]=a×b【分析】先对a、b两个数求最大公约数和最小公倍数36=22×3354=2×33所以，（a，b）=18，[a,b]=108则有，（a，b）×[a,b]=1994=36×54=a×b例5、现有4个不同的自然数，它们的和是1111.如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是多少？【分析】使公约数最大的条件是什么？因为1111=11×101（如何判定能被11整除），为使公约数最大，且四个自然数互不相同，则保留大的质数，并对小的质数11进行拆分。11=1+2+3+5（为什么这样拆分）所以这四个不同的自然数为101、202、303、505，最大公约数为101.例6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？奇数个连续自然数的和可以表示为am×n（am为中间的那个数，n为自然数的个数）偶数个连续自然数的和可以表示为（a1+an）×n/2（a1、an为首项和末项，n为自然数的个数）根据以上罗列的连续自然数的特性，我们可以知道，奇数个连续自然数的和一定能够被这个奇数整除；偶数个连续自然数的和，一定能够被这个偶数的1/2整除。结合题目给定的条件，这个自然数能够被5、9、11整除，且5、9、11互质，所以符合这样条件的最小自然数为：5×9×11=495【分析】问：连续自然数的和的特点？满足整除条件的最小自然数？第二课提高部分练习：把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？分析：也就是说用18个梨、27个苹果正好够分，那么18与27的最大公约数9，就是最大可能数。答案：（20-2,25+2）=（18,27）=9练习：一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数的和为10，那么此数为几？分析：最小的约数是1，而最小的3个约数和为10，那么剩下两个约数和为9，剩下两个约数的奇偶性相反，即一奇一偶。一个包含偶约数的数，一定是2的倍数，即2是他的约数，所以第二小的约数为2；第三个约数为9-2=7。于是可知这个两位数为2×7=14的倍数，且不是3,4,5,6的倍数（因为7为第三小的约数），满足此条件的只有1×14与7×14。而14仅有4个约数。答案：7×14=98题：文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）分析：参加竞赛的人数必定是15、12、8的最小公倍数整数倍，通过获奖人数可以验证倍率。解：[15,12,8]=120120÷15×3=24题：一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）分析：在4米与6米的整数倍处，正好重合，不需要再挖。但不要忘了第一个。解：[4,6]=1296÷12+1=9题：两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差分析：最大公约数为5，说明这两个数的个位是5。设两数为5a、5b，则a+b=10，且a、b只能为奇数（如为偶数，约数中将会有2×5），所以符合条件的a、b为1、9与3、7两组。所以这两个数为15、35与5、45。差为40或20题：已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数，n有10个约数，求数m与n的和分析：因为75=3×，所以我们可设，。从最大公约数可知，p、x中较小的数是1，q、y中较小的数是2。因为质因数个数=（各因素个数+1）的乘积。所以（p+1）×（q+1）=12,（x+1）×（y+1）=10,又12=3×4=2×6，10=2×5，则p=3，q=2，x=1，y=4。所以，，m+n=2550思考：p、q选择2×6是否可以？x=4，y=1是否可以？题：动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？分析：花生总粒数=12×第一群猴子只数=15×第二群猴子只数=20×第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，…；第二群猴子只数是4，8，12，…；第三群猴子只数是3，6，9，…；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．5253qpm53yxn5323m534n知识点小结约数和倍数的定义：如果一个自然数A能被自然数B整除，那么A就是B的倍数，B为A的约数。最大公约数的定义：一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数，在所有公约数中，最大的一个公约数，称为这若干自然数的最大公约数。（6,9,15）=3求最大公约数的方法：1、分解质因数法：先分解，再把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：大数÷小数=商...余数小数÷余数=商...新余数直到余数为0，那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如最后的除数是1，那么原来的两个数互质）。最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个然数是这若干个自然数的公倍数，在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数（6,9,15）=90求最小公倍数的方法：1、分解因数法：先分解，再去共同因数，再取积如：231=3×7×11252=2×2×3×3×7[231,252]=2×2×3×3×7×11=27722、短除法：[18,12]=2×3×3×2=363、最大公约数法：[a,b]=a×b÷(a,b)求一个数所有约数的个数：步骤一：分解质因数（a为合数N的质因数）步骤二：求约数个数：求所有约数和：求一组分数的最大公约数：先把分数化为假分数，求出各分数分母的最小公倍数a，各分数分子的最大公约数b；最大公约数即为ba求一组分数的最小公倍数：先把分数化为假分数，求出各分数分母的最大公约数a，各分数分子的最小公倍数b；最大公约数即为ab