第5章-Nash均衡的应用

第一部分：完全信息静态博弈第五章Nash均衡的应用主要内容：一、Cournot寡头竞争模型二、Bertrand模型三、Hotelling价格竞争模型四、Hardin公共财产问题五、国防采购R&D投资均衡六、混合战略Nash均衡应用ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng主要内容：一、Cournot寡头竞争模型二、Bertrand模型三、Hotelling价格竞争模型四、Hardin公共财产问题五、国防采购R&D投资均衡六、混合战略Nash均衡应用第五章Nash均衡的应用ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng一、Cournot寡头竞争模型•Cournot寡头竞争模型由AntoineAugustinCournot(1838年)在研究产业经济学时提出，它可以说是具有Nash均衡思想的最早模型，比Nash均衡的定义早了100多年。该模型研究了寡头垄断市场中，企业追求利润最大化时的决策问题。ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfengCournot模型包含了以下基本假设：1)企业生产的产品是同质无差异的。该假设意味着消费者在购买企业生产的产品时，仅根据产品的价格进行决策，即谁的价格低就购买谁的产品；2)企业进行的是产量竞争，也就是说，企业的决策变量为产量；3)模型为静态的，即企业的行动是同时的。ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•用表示企业i(i=1,2)的产量，ci(qi)表示企业i的成本，P=P(q1+q2)表示需求函数(其中P是价格，即价格是产量的函数)，则企业i的利润πi为：•其中，πi是关于qi的可微函数。[0)iq，1212(,)()()iiiiqqqPqqcqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•对于追求利润最大化的企业i(i=1,2)而言，其面临的决策问题为：1212(,)()()iiiiiqMaxqqqPqqcqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•对于上述优化问题，给定企业j的最优选择，企业i(i≠j)选择qi使自己的利润最大，即若为企业i的最优选择，则有1211122212argmax(,)argmax(,)qqqqqqqqjqiqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•由Nash均衡的定义可知：每个企业i为最大化自己的利润所选择的最优产量组合，即为上述博弈的Nash均衡。12(,)qqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng求解这个博弈的Nash均衡产量组合•由于πi可微，因此，由最优化一阶条件可得112112111212212222()()()0()()()0PqqqPqqcqqPqqqPqqcqqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•根据上述一阶条件，可得如下函数：112221()()qRqqRqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•上面两个函数分别描述了给定对手的产量，企业i应该如何反应，因而分别称为企业1与企业2的反应函数(reactionfunction)。•反应函数意味着每个企业的最优产量是另一个企业的产量的函数，两个反应函数的交点便是Nash均衡点。ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•为了得到更具体的结果，考虑上述模型的简单情形。假设每个企业具有相同的不变单位成本c，即ci(qi)=cqi，需求函数为线性形式P=a-(q1+q2)，所以(,)()iijiijqqqaqqcControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•此时，最优化的一阶条件为：1121121222()0()0aqqqcqaqqqcqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•企业的反应函数为：112222111()()21()()2qRqaqcqRqaqcControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng联立求解上式，可得企业的Nash均衡产量为121()3qqacControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•企业的Nash均衡利润分别为2121()9acControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•在上述简单假设下，两个企业的反应函数均为直线，两条直线的交点即为Nash均衡。2q1qNE012()Rq21()Rq1q2qControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•考察企业联合垄断市场时的最优产量和均衡利润。•当企业联合起来垄断市场时，企业面临如下决策问题：()QMaxQaQcControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•最优垄断产量和垄断利润为：21()21()()4QacQacControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•可以看出：当企业联合起来垄断市场时，市场上的垄断Q*产量小于企业单独决策时市场上的总产量，但垄断利润却大于企业单独决策时市场上的利润之和。12qq()Q2122()9acControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng提出一个问题：•垄断产量小于寡头总产量，而垄断利润大于寡头总利润，那么两个寡头企业可否联合起来垄断市场从而均分垄断利润呢？ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•假设每一个企业都有两种选择——“合作”与“不合作”。若企业选择“合作”，则企业的产量为垄断产量的一半即，若企业选择“不合作”，则企业的产量为Nash均衡产量即。1()4ac1()3acControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng22()(),88acac225()5(),4836acac225()5(),3648acac22()(),99acac合作合作不合作不合作1企业2企业ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•由此很容易看出上述博弈有惟一的Nash均衡，那就是两个企业都选择“不合作”，即两个企业都合作从而使得各自利润都得到增加的有效结果无法得到。这是典型的“囚徒困境”问题，垄断最优的情形在两个寡头的时候是无法达到的。ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•产生该现象的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑到对本企业利润的影响而忽略了对另一个企业的负外部效应。ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•假设两企业事先约定联合起来垄断市场，并规定每个企业都生产垄断产量一半的产量即但在实际生产中，企业1按约定生产了，而企业2却生产了，即将自己的产量改变了△q。此时，企业1的利润为1()4ac1()4ac1()4acq12111((()()))()44411()()84acacacqacacacqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•企业2的利润为222111((()()))(())44411()()()84acacacqacqacacqqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•只要，企业2的利润就可以大于垄断利润，而企业1的利润却小于垄断利润。这说明企业间的事先约定在实际生产中是无法得到遵守的，除非这种约定是有约束力的。10()4qac21()8ac21()8acControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•但是，对于Nash均衡产量，企业都会自动遵守。假设企业1生产了Nash均衡产量，而企业2却生产了，即将Nash均衡产量改变了△q。1()3ac1()3acqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•企业1的利润为•企业2的利润为222111((()()))(())1()()9333acacacqacqacq12111((()()))()11()()93333acacacqacacacqControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng•只要△q≠0，即企业2不生产Nash均衡产量，其利润都将小于均衡利润•因此，如果两个企业事先约定都生产Nash均衡产量，那么在实际生产中这种事先约定将会得到遵守，即使这种约定是没有约束力的。21()9ac1()3acControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng主要内容：一、Cournot寡头竞争模型二、Bertrand模型三、Hotelling价格竞争模型四、Hardin公共财产问题五、国防采购R&D投资均衡六、混合战略Nash均衡应用第五章Nash均衡的应用ControlScienceandEngineering,HUSTAllRightsReserved,2007,LuoYunfeng二、Bertrand模型•在寡头垄