数列通项、求和方法经典总结

2012届高三文科数学专题4——数列1求an；求Sn；第二次课——数列通项公式的求法一、定义法——直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差or等比）的题目．例．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.解：设数列na公差为)0(dd∵931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12∵0d，∴da1………………………………①∵255aS∴211)4(2455dada…………②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(53二、公式法求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解。特征：已知数列的前n项和nS与na的关系例．已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122(1),nnnaa,)1(22221nnnaa……，.2212aa11221122(1)2(1)2(1)nnnnnaa三、由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为)(1nfaann对策：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法求解。例1.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，2012届高三文科数学专题4——数列2即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121类型2特征：递推公式为nnanfa)(1对策：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法求解。例2.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32类型3特征：递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数）对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由qpaann1得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa构成数列1nnaa以21aa为首项，以p为公比的等比数列.求出1nnaa的通项再转化为类型1（累加法）便可求出.na例3.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.类型4特征：递推公式为1()nnapafn（其中p为常数）对策：（利用构造法消去p）两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp，令nnnabp，则2012届高三文科数学专题4——数列311()nnnfnbbp，再转化为类型1（累加法），求出nb之后得nnnapb例4．设数列{na}的前n项和nS.已知首项a1=3,且1nS+nS=21na,试求此数列的通项公式na及前n项和nS.解：∵a1=3,∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6.由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1)Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1即an+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=.2,32,1,31时当时当nnn此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n–1=3＋13)13(321n=3n.类型5特征：递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。对策：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts，再应用前面类型3的方法求解。例5.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。解：由nnnaaa313212可转化为)(112nnnnsaatsaa即nnnstaatsa12)(3132stts311ts或131ts这里不妨选用311ts（当然也可选用131ts，大家可以试一试），则)(31112nnnnaaaannaa1是以首项为112aa，公比为31的等比数列,所以11)31(nnnaa,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，2012届高三文科数学专题4——数列4即2101)31()31()31(nnaa311)31(11n又11a，所以1)31(4347nna。巩固：例8.数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。解：由0731nnaa得37311nnaa设a)(311kaknn，比较系数得373kk解得47k∴{47na}是以31为公比，以43471471a为首项的等比数列∴1)31(4347nna1)31(4347nna例9.已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．解：设)(31tatann，则1231ttaann，)1(311nnaa1na是以)1(1a为首项,以3为公比的等比数列111323)1(1nnnaa1321nna例10．已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．解：将123nnnaa两边同除n3，得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3，则1321nnbb．令)(321tbtbnntbbnn313213t．条件可化成)3(3231nnbb，数列3nb是以3833311ab为首项，32为公比的等比数列．1)32(383nnb．因nnnab3,)3)32(38(331nnnnnba2123nnna．例11.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；2012届高三文科数学专题4——数列5例12.数列na满足23,5,21221nnaaaana=0，求数列{an}的通项公式。解：由02312nnnaaa得0)(2112nnnnaaaa即）nnnnaaaa112(2，且32512aa∴}{1nnaa是以2为公比，3为首项的等比数列∴1123nnnaa利用逐差法∴1231nna例13．已知数列na满足11a,22a,nnnaaa313212求na．解：设)(112nnnnsaatsaannnstaatsa12)(3132stts311ts或131ts则条件可以化为)(31112nnnnaaaannaa1是以首项为112aa，公比为31的等比数列,所以11)31(nnnaa．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得1)31(4347nna．2012届高三文科数学专题4——数列6求ns的四种方法：⑴错位相减法①若数列na为等差数列，数列nb为等比数列，则数列nnab的求和就要采用此法.②将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项和.例：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn如：……Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn·……234122341121121：……xSxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnnnn112312时，……⑵裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb12(,,,abbc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.2012届高三文科数学专题4——数列7⑷倒序相加法如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...nnaaaa⑸记住常见数列的前n项和：①(1)123...;2nnn②2135...(21);nn③22221123...(1)(21).6nnnn