搜索
数学第二部分高考热点分层突破专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养01做高考真题明命题趋向[做真题]题型一圆锥曲线的定义与方程1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1解析：选B.由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A．x28－y210＝1B．x24－y25＝1C．x25－y24＝1D．x24－y23＝1解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24－y25＝k(k0)，即x24k－y25k＝1，因为双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为x24－y25＝1.故选B.法二：因为椭圆x212＋y23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，所以a2＋b2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y＝52x，所以ba＝52②，联立①②可解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线C的方程为x24－y25＝1.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0，42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.答案：6题型二圆锥曲线的几何性质1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A，且斜率为36的直线上，所以3c2c＋a＝36，解得ca＝14，所以e＝14，故选D.2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．解析：通解：因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，如图．所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F1A→＝AB→，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝ab，tan∠BOF2＝ba.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以ba＝2×ab1－ab2，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.优解：因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又F1A→＝AB→，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得Bc2，3c2，因为点B在直线y＝bax上，所以32c＝ba·c2，所以ba＝3，所以e＝1＋b2a2＝2.答案：23．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝k（x－1），y2＝4x，消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1.由y＝k（x－1），y2＝4x，消去x得y2＝41ky＋1，即y2－4ky－4＝0，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得MA→·MB→＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1与y1＋y2＝4k，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，所以y21－y22＝4(x1－x2)，则k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.答案：2[山东省学习指导意见]1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．3．了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．圆锥曲线的定义与标准方程[典型例题](1)椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A．55B．655C．855D．455(2)设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝2b2a＝855，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时△FMN的面积S＝12×2×855＝855.故选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a最小，所以∠PF1F2＝30°.在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos30°＝|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|22|PF1||F1F2|＝16a2＋4c2－4a22×4a×2c＝32，整理得c2＋3a2＝23ac，解得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A.【答案】(1)C(2)A(1)圆锥曲线的定义①椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)．②双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)．③抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．[注意]应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．(2)求解圆锥曲线标准方程的思路定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)[对点训练]1．(2019·福州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA→＝2AF→，且|BF→|＝4，则双曲线C的方程为()A．x26－y25＝1B．x28－y212＝1C．x28－y24＝1D．x24－y26＝1解析：选D.不妨设B(0，b)，由BA→＝2AF→，F(c，0)，可得A2c3，b3，代入双曲线C的方程可得49×c2a2－19＝1，所以b2a2＝32.①又|BF→|＝b2＋（－c）2＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16.②由①②可得，a2＝4，b2＝6，所以双曲线C的方程为x24－y26＝1.2．(2019·陕西渭南期末改编)已知方程x24－k＋y2k－2＝1，若该方程表示双曲线，则k的取值范围是________，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________．解析：方程x24－k＋y2k－2＝1表示双曲线，若焦点在x轴上，则4－k0，k－20，解得k2；若焦点在y轴上，则4－k0，k－20，解得k4，则k的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4－kk－20，即2k3，则k的取值范围为(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)(2，3)3．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．解析：设直线AB的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p2＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p2＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.答案：4[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．5圆锥曲线的性质(2)(2019·济南市模拟考试)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab