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【题目1】已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=7，则𝐵𝐶边上的中线𝑎的取值范围是（）。A.1𝑎6B.5𝑎7C.2𝑎12D.10𝑎14【题目2】已知𝐶𝐷=𝐴𝐵，∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，则下列说法错误的是（）。A.∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐸B.∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷C.𝐴𝐶=2𝐴𝐸D.𝐴𝐸=𝐴𝐷【题目3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=5，中线𝐴𝐷=4，则边𝐴𝐵的取值范围是（）。A.1𝐴𝐵9B.3𝐴𝐵13C.5𝐴𝐵13D.9𝐴𝐵13【题目4】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=5，中线𝐴𝐷=4，那么边𝐴𝐵的取值范围为（）。A.1𝐴𝐵9B.3𝐴𝐵13C.5𝐴𝐵13D.9𝐴𝐵13【题目5】如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的外侧，作等边三角形𝐴𝐷𝐸，连接𝐵𝐸，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为（）。A.10∘B.12.5∘C.15∘D.20∘【题目6】如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵上的点，且，𝐶𝐸与𝐵𝐷交于点𝑃，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为（）。A.B.C.D.【题目7】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝑀，交𝐴𝐵于点𝐸，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝑁，交𝐴𝐶于点𝐹，则𝑀𝑁的长为（）。A.4𝑐𝑚B.3𝑐𝑚C.2𝑐𝑚D.1𝑐𝑚【题目8】如图，𝐷，𝐸，𝐹分别是等边△𝐴𝐵𝐶各边上的点，且𝐴𝐷=𝐵𝐸=𝐶𝐹，则△𝐴𝐷𝐹≅△𝐶𝐹𝐸的判断依据是（）。A.𝑆𝐴𝑆B.𝐴𝐴𝑆C.𝐻𝐿D.𝐴𝑆𝐴【题目9】如图，𝑃为△𝐴𝐵𝐶内的一点，𝐷、𝐸、𝐹分别是点𝑃关于边𝐴𝐵、𝐵𝐶、所在直线的对称点，那么等于_____。【题目10】如图△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐷是高，𝐵𝐸是角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，若𝐷𝐹=1，则𝐵𝐸的长为。【题目11】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，若𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=3，则𝐴𝐷的取值范围是。【题目12】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=8，𝐷为𝐴𝐵的中点，点𝑃在线段𝐵𝐶上以每秒2个单位的速度由𝐵点向𝐶点运动，同时，点𝑄在线段𝐶𝐴上以每秒𝑥个单位的速度由𝐶点向𝐴点运动。当△𝐵𝑃𝐷与以𝐶、𝑄、𝑃为顶点的三角形全等时，𝑥的值为。【题目13】如图，直线𝑙过正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐵，点𝐴、点𝐶到直线𝑙的距离分别是3和4，则该正方形的边长是。【题目14】如图，𝐷为线段𝐴𝐵的中点，在𝐴𝐵上取异于𝐷的点𝐶，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为斜边在𝐴𝐵同侧作等腰直角三角形𝐴𝐶𝐸与𝐵𝐶𝐹，连接𝐷𝐸、𝐷𝐹、𝐸𝐹，求证：△𝐷𝐸𝐹为等腰三角形。【题目15】已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶的中点，过点𝐷作直线交𝐴𝐵，𝐶𝐴的延长线于点𝐸，𝐹，当𝐵𝐸=𝐶𝐹时，求证：𝐴𝐸=𝐴𝐹。【题目16】如图，等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐶的中点，𝐷𝐺//𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐺，𝐸为𝐵𝐶延长线上的一点，且，𝐷𝐹交𝐴𝐵于𝐹点。（1）求证：△𝐶𝐷𝐸≅△𝐺𝐷𝐹。（2）求证：𝐴𝐹−𝐶𝐸=12𝐴𝐵。【题目17】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=45∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐷、𝐸，𝐹为𝐵𝐶中点。𝐵𝐸与𝐷𝐹，𝐷𝐶分别交于点𝐺、𝐻，连接𝐴𝐺。（1）线段𝐵𝐻与𝐴𝐶相等吗？若相等给予证明。若不相等请说明理由；（2）若𝐴𝐵=𝐵𝐶，求证：。【题目18】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，交𝐶𝐵于点𝐷，过点𝐷作于点𝐸。（1）求证：。（2）若∠𝐵=30∘，𝐶𝐷=1，求𝐵𝐷的长。【题目19】如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷是𝐵𝐶的中点，点𝐸在𝐴𝐷上。（1）求证：𝐵𝐸=𝐶𝐸。（2）如图2，若𝐵𝐸的延长线交𝐴𝐶于点𝐹，且𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，垂足为𝐹，，原题设其它条件不变，求证：△𝐴𝐸𝐹≅△𝐵𝐶𝐹。【题目20】如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，𝐸、𝐹分别为𝐷𝐶、𝐵𝐶中点。（1）求证：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐵𝐹；（2）求△𝐴𝐸𝐹的面积。【题目21】如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，，分别延长𝐷𝐶、𝐵𝐶到点𝐸，𝐹，使得△𝐵𝐶𝐸和△𝐶𝐷𝐹都是正三角形。（1）求证：𝐴𝐸=𝐴𝐹。（2）求∠𝐸𝐴𝐹的度数。答案【题目1】A【解析】本题主要考查三角形的三边关系和三角形的中线。如图所示，设𝐸为𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐸并延长𝐴𝐸至点𝐷，使得𝐴𝐸=𝐸𝐷，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷。因为𝐴𝐷、𝐵𝐶相互平分，所以四边形𝐴𝐵𝐷𝐶是平行四边形，故𝐵𝐷=𝐴𝐶=7；由三角形的三边关系可知，在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷的取值范围为|𝐴𝐵−𝐵𝐷|𝐴𝐷|𝐴𝐵+𝐵𝐷|，即2𝐴𝐷12；因为𝐴𝐷=2𝑎，所以𝑎的取值范围为1𝑎6。故本题正确答案为A。【题目2】D【解析】延长𝐴𝐸至𝐹，连结𝐷𝐹。在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐷𝐸中，{𝐴𝐸=𝐸𝐹∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐷𝐵𝐸=𝐷𝐸，所以△𝐴𝐵𝐸≅△𝐹𝐷𝐸(SAS)，所以𝐴𝐵=𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐷𝐹。因为𝐶𝐷=𝐴𝐵，所以𝐶𝐷=𝐷𝐹。又因为∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵，∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐸𝐷𝐹，∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷，所以∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐹。在△𝐴𝐷𝐹和△𝐴𝐷𝐶中，{𝐴𝐷=𝐴𝐷∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐹𝐶𝐷=𝐷𝐹，所以△𝐴𝐷𝐹≅△𝐴𝐷𝐶(SAS)，所以∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷，𝐴𝐶=𝐴𝐹，∠𝐶=∠𝐹。又因为𝐴𝐹=2𝐴𝐸，所以𝐴𝐶=2𝐴𝐸，因为∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹，所以∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐸，所以A、B、C正确，D错误。故选D。【题目3】B【解析】本题主要考查三角形的三边关系和全等三角形的应用。如图所示，延长𝐴𝐷到𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸。在△𝐴𝐷𝐶和△𝐸𝐷𝐵中，{𝐴𝐷=𝐸𝐷∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷，所以△𝐴𝐷𝐶≅△𝐸𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)，所以𝐴𝐶=𝐸𝐵，所以𝐴𝐸=2𝐴𝐷=8，𝐵𝐸=𝐴𝐶=5。在△𝐵𝐴𝐸中，由三角形的三边关系可知：𝐴𝐸−𝐵𝐸𝐴𝐵𝐴𝐸+𝐵𝐸，即3𝐴𝐵13。`故本题正确答案为B。【题目4】B【解析】本题主要考查三角形的三边关系和边角边定理。如图所示，延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷=4，连接𝐵𝐸，则𝐴𝐸=8。因为𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的中线，𝐷是中点，所以𝐵𝐷=𝐶𝐷，在△𝐸𝐷𝐵和△𝐴𝐷𝐶中，{𝐵𝐷=𝐶𝐷∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶𝐸𝐷=𝐴𝐷，所以△𝐸𝐷𝐵≅△𝐴𝐷𝐶(𝑆𝐴𝑆)，故𝐸𝐵=𝐴𝐶=5，由三角形三边关系得，𝐴𝐸−𝐵𝐸𝐴𝐵𝐴𝐸+𝐵𝐸，即8−5𝐴𝐵8+5，故3𝐴𝐵13。故本题正确答案为B。【题目5】C【解析】本题主要考查等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理。因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，所以𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90∘。因为△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，所以𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸=60∘，所以𝐴𝐸=𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐸=150∘，由三角形的内角和定理得∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵=12×(180∘−150∘)=15∘。故本题正确答案为C。【题目6】B【解析】本题主要考查等边三角形、角的运算以及边角边定理。因为△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶，，，所以在和中，{𝐴𝐵=𝐵𝐶∠𝐴=∠𝐶𝐵𝐸𝐴𝐷=𝐵𝐸，所以△𝐵𝐴𝐷≅△𝐶𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)，根据三角形全等的性质可知，∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐸𝐶𝐵，又因为，则。故本题正确答案为B。【题目7】C【解析】本题主要考查等腰三角形和全等三角形的判定与性质。如图所示，连接𝐴𝑀、𝐴𝑁。因为𝐴𝐵=𝐴𝐶，，所以。因为垂直平分𝐴𝐵，所以𝐵𝑀=𝐴𝑀，则。同理可得：𝐴𝑁=𝑁𝐶，。在△𝐵𝐴𝑀和中，{∠𝐵=∠𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝑀𝐴𝐵=∠𝑁𝐴𝐶，所以△𝐵𝐴𝑀≅△𝐶𝐴𝑁(𝐴𝑆𝐴)，所以𝐴𝑀=𝐴𝑁。又因为∠𝑀𝐴𝑁=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝑀𝐴𝐵−∠𝑁𝐴𝐶，所以△𝑀𝐴𝑁为等边三角形，所以𝑀𝑁=𝐴𝑀=𝐴𝑁=𝐵𝑀=𝑁𝐶，所以𝑀𝑁=13𝐵𝐶=13×6=2𝑐𝑚。故本题正确答案为C。【题目8】A【解析】本题主要考查边角边定理。因为△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，所以∠𝐴=∠𝐶=60∘，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶，又因为𝐴𝐷=𝐵𝐸=𝐶𝐹，所以𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐹，即𝐷𝐵=𝐸𝐶=𝐹𝐴；在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐹𝐸中，{𝐴𝐷=𝐶𝐹∠𝐴=∠𝐶𝐴𝐹=𝐶𝐸，所以△𝐴𝐷𝐹≅△𝐶𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)，判断依据为𝑆𝐴𝑆。故本题正确答案为A。【题目9】360∘【解析】本题主要考查轴对称的性质和全等三角形的基本概念。根据轴对称的性质，由于𝐷、𝑃关于𝐴𝐵对称，则△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝑃𝐵，则，同理可得、，那么。故本题正确答案为360∘。【题目10】本题主要考查等边三角形。因为△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，所以，因为𝐴𝐷是高，所以，又因为𝐷𝐹=1，所以根据含角的直角三角形的性质可得斜边𝐴𝐷=2，因为𝐵𝐸是角平分线，根据等腰三角形三线合一定理得：𝐵𝐸是等边△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边的高，根据三角形的面积公式得：12𝐴𝐷⋅𝐵𝐶=12𝐵𝐸⋅𝐴𝐶，因为𝐵𝐶=𝐴𝐶，所以𝐵𝐸=𝐴𝐷=2。故本题正确答案为2。【题目11】本题主要考查边角边定理、三角形的中线以及三角形的三边关系。如图所示，延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸。因为𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，所以𝐵𝐷=𝐶𝐷。在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐷𝐴中，{𝐵𝐷=𝐶𝐷∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐴𝐸𝐷=𝐴𝐷，所以△𝐵𝐷𝐸≅△𝐶𝐷𝐴(𝑆𝐴𝑆)，故𝐸𝐵=𝐴𝐶=3。在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵−𝐵𝐸𝐴𝐸𝐴𝐵+𝐵𝐸，即22𝐴𝐷8，故1𝐴𝐷4。故本题正确答案为1𝐴𝐷4。【题目12】本题主要考查全等三角形的应用。由题意可得，𝐵𝐷=12𝐴𝐵=12×12=6，存在两种情况满足题意。①当𝐵𝑃和𝐶𝑄对应相等时，因为△𝐵𝐷𝑃≅△𝐶𝑃𝑄，所以𝐵𝑃=𝐶𝑄，𝐵𝐷=𝐶𝑃=6，所以𝐶𝑄=𝐵𝑃=𝐵𝐶−𝐶𝑃=8−6=2，因为𝑃点速度为2，所以此时经过1秒，故𝑄的速度