人教版高中数学选修1-1教学案讲义与课后作业-导数的计算

第1页共18页人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题导数的计算课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容导数的计算【学习目标】1．知识与技能（1）了解求基本初等函数导函数的基本方法和步骤，掌握计算一般函数=()yfx在0x处导数的步骤．（2）熟练记忆8个基本初等函数的导数公式，并能应用公式求简单函数的导数．（3）了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和差积商综合运算的函数的导数．（4）了解函数的复合过程，并能求复合函数的导数．2．过程与方法（1）通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数=()yfx在0=xx处的导数的步骤的过程以及由函数=()yfx在0x处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会它们之间的联系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透．（2）经历由两个函数的和差积商的运算法则的求导过程，培养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维形式；并通过对基本初等函数间进行四则运算和复合后所得函数求导数，培养学生的运算能力．3．情感、态度与价值观在本节的学习中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系；提高对导数重要性的认识，利用导数解决与切线的有关问题，体会导数在解决问题中的强大作用．第2页共18页【要点梳理】要点一：基本初等函数的导数基本初等函数导数特别地常数函数ycc为常数'0y'0，'=0e幂函数nyxn为有理数1nynx211'xx，1'2xx指数函数xya'lnxyaa'xxee对数函数logayx1'lnyxa1ln'xx正弦函数sinyx'cosyx2sin1tan'='=coscosxxxx2cos1cot'='=sinsinxxxx余弦函数cosyx'sinyx要点诠释：1．常数函数的导数为0，即'c=0（c为常数）．其几何意义是曲线()fxc（c为常数）在任意点处的切线平行于x轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即1()'nnxnxnQ．3．在数学中，“ln”表示以ee=2.71828为底数的对数；“lg”表示以10为底的常用对数．4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．要点二：和、差、积、商的导数要点诠释：第3页共18页1．上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''uvuv，推广：1212()''''nnuuuuuu．（ⅱ）积的导数：()'''uvuvuv，特别地：()''cucu（c为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)uuvuvvvv，两函数商的求导法则的特例2()'()()()'()'(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx，当()1fx时，2211'()1'()'()'(()0)()()()gxgxgxgxgxgxgx．这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uvuvuv，2'''uuvuvvv（v≠0），注意差异，加以区分．（2）注意：'''uuvv且2'''uuvuvvv（v≠0）．3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．例如，要对函数221yxx求导，可先因式分解将该函数化为3-3+2yxx，再利用加法和减法法则求导．要点三：复合函数的导数1．复合函数的概念对于函数[()]yfx，令()ux，则()yfu是中间变量u的函数，()ux是自变量x的函数，则函数[()]yfx是自变量x的复合函数．例如，函数=lnsinyx是由=lnyu和=sinux复合而成的．要点诠释：常把()ux称为“内层”，()yfu称为“外层”．2．复合函数的导数第4页共18页设函数()ux在点x处可导，''()xux，函数()yfu在点x的对应点u处也可导''()uyfu，则复合函数[()]yfx在点x处可导，并且'''xuxyyu，或写作'[()]'()'()xfxfux．3．复合函数求导一般步骤（1）分层：将复合函数[()]yfx分出内层、外层．（2）各层求导：对内层()ux，外层()yfu分别求导．得到'(),'()xfu（3）求积并回代：求出两导数的积：'()'()fux，然后将()ux用替换，即可得到[()]yfx的导数．要点诠释：1．整个过程可简记为：分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．2．选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【典型例题】类型一：导数的计算例1．求下列各函数的导数：（1）3521+2logyxx；（2）531yxx；（3）2()(1)(23)fxxx；（4）1ln=1lnxyx．【思路点拨】先将各函数写出初等函数的和、差、积、商的形式，再利用求导法则展开，最后代入各初等函数的导数值．【解析】（1）27553352122''+2log''+2log'+5ln3yxxxxxx．（2）32552131''''=+5yxxxx．（3）法一：去掉括号后求导．∵232()=(1)(23)=2323fxxxxxx，第5页共18页∴322'()2'3'2'=3662fxxxxxx．法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'fxxxxx22 2(23)12662.xxxxx－－（4）21ln'1ln1ln1ln'=1lnxxxxyx211(1ln)(1ln)=(1ln)xxxxx22=(1ln)xx．【总结升华】（1）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简；（2）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（3）如果遇到求多个积的导数，可以逐层分组进行；举一反三：【变式1】求下列函数的导数：（1）322354yxxx；（2）2(23)(32)yxx；（3）233xyx；（4）()tanfxx．【答案】（1）32322'(2354)'(2)'(3)'(5)'4'665yxxxxxxxx．（2）法一：直接求导（利用乘法法则）：22'(23)'(32)+(23)(32)'yxxxx2=4(32)3(23)xxx21889xx．法二：展开后求导（利用加法和减法法则）：232(23)(32)6496yxxxxx，第6页共18页32322'(6496)'(6)'(4)'(9)'6'1889yxxxxxxxx；（3）2222222222(3)'(3)(3)(3)'(3)(3)263'(3)(3)(3)xxxxxxxxxyxxx．（4）222sin(sin)'cossin(cos)'coscossin(sin)1'()()'cos(cos)coscosxxxxxxxxxfxxxxx．【变式2】求下列函数的导数：（1）12sincosyxxxx；（2）42logaxyx；（3）1111yxx；（4）=sinlnyxxx．【答案】（1）1'(2sin)'cos'yxxxx12211sin2coscos(sin)xxxxxxxx111222()sin(2)cosxxxxxx．（2）4324(2log)ln'(2log)aaxxxxayx333284logln(2log)aaxxxxax32184loglg(2log)aaxaxx．（3）∵112111yxxx，∴222(1)'2'(1)(1)xyxx．（4）=sinlnsinlnyxxxxxx＋='sin+sin'lnsinxxxxxx＋=sincoslnsinxxxxx＋＋．例2．求下列复合函数的导数：（1）=ln8yx；（2）2+1=5exy；第7页共18页（3）=sin2cos2.yxx－【思路点拨】利用复合函数的求导步骤，按照分层——求导——回代的顺序逐步进行．【解析】（1）第一步：分层：令8ux，则lnyu．第二步：求导：'8xu，'1uyu．第三步：回代：''111'=888uxyyuuxx．（2）第一步：分层：设5e21uyux＝，＝＋，第二步：求导：''5e2uuxyu＝，＝，第三步：回代：'''=uxyyu2110e=10eux．（3）法一：(sin2cos2)sin2cos22cos22sin222yxxxxxx＝－＝－＝＋＝sin(2)4x＋．法二：∵2y＝sin(2)4x－)，∴2y＝cos(2)4x－·2＝22sin(2)4x＋．【思路点拨】（1）复合函数求导的本质是逐层求导，在求导的过程中把一部分量或式子暂时当作一个整体，即中间变量，求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．（2）通过恒等变换，将复合函数化简为初等函数和、差、积、商的形式，再通过四则运算求导法则计算导数，从而简化步骤，减少失误．比如，本题第（1）题的另一解法：因为2+12=5e=5eexxy，所以2222+1 =5ee'5eelne10exxxy．（3）在熟悉复合函数的求导步骤后，可省略中间步骤，如第（2）题，可写成如下形式：2510'=5log(2+1)'=(21)'=(21)ln2(21)ln2yxxxx．举一反三：【变式1】求下列函数导数．（1）ln(2)yx；第8页共18页（2）21exy；（3）2cos(21)yx；（4）22cossinxyxsin0x）．【答案】（1）令lnyu，2ux，∴'''(ln)'(2)'xuxyyuux1112ux（2）令euy，21ux，∴'''(e)'(21)'uxuxyyux212e2eux（3）令cosyu，221ux，∴2'''(cos)'(21)'xuxyyuux24sin4sin(21)xuxx．（4）方法一：222226coscos2cos(cos)'sincos(sin)''2'sinsinsinsinxxxxxxxyxxxx323352cos(sin2cossin)2cos4cossin6sinsinxxxxxxxxx．方法二：∵24cossinxyx，∴24248(cos)'sincos(sin)''sinxxxxyx42338352cos(sin)sincos4sincos2cos4cossinsinsinxxxxxxxxxxx．【变式2】求下列函数导数：（1）2cos(2)3yx；（2）()(cossin)xfxexx；第9页共18页（3）2ln1yxx＋．【答案】（1）设2y，cosv，32xv，则''''2sin2xVxyyvv2cos(2)