2019高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法

第二节一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数是__的不等式叫做一元二次不等式.22.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实数根有两相等实数根x1=x2=没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集___________________________ax2+bx+c0(a0)的解集___________1212bx,2abx2a(xx)b2a{x|xx1或xx2}{x∈R|x≠b}2a{x|x1xx2}R在不等式ax2+bx+c0(a≠0)中，如果二次项系数a0，则可先根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.1.不等式(x+2)(x-1)4的解集为()(A)(-∞,-2)∪(3,+∞)(B)(-∞,-3)∪(2,+∞)(C)(-2,3)(D)(-3,2)(2)(2019·广东高考)不等式x2+x-20的解集为.考向1一元二次不等式的解法2.函数f(x)=的定义域为()(A)［0,3］(B)(0,3)(C)(-∞,0］∪［3,+∞)(D)(-∞,0)∪(3,+∞)【解析】选A.依题意有3x-x2≥0，解得0≤x≤3，即定义域为［0,3］.23xx3.关于x的不等式ax2+bx+20的解集是则a+b=()(A)10(B)-10(C)14(D)-14【解析】选D.由题意是方程ax2+bx+2=0的两个根，所以解得a=-12，b=-2,故a+b=-14，选D.11(,)23，1211a0,x,x2311b112,,23a23a【典例1】(1)(2019·大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)，如果不等式f(x)0的解集是(-1,3)，则不等式f(-2x)0的解集是()(A)(-∞,)∪(,+∞)(B)(,)(C)(-∞,)∪(,+∞)(D)(,)32123212123212324.不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_______.【解析】依题意，应有Δ=(-m)2-4×4×1≤0,即m2-16≤0，解得-4≤m≤4.答案：［-4,4］(3)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.【思路点拨】(1)根据不等式解集的端点与相应方程的两根之间的关系,建立方程组求得a,b的值,再解不等式f(-2x)0.(2)本题考查二次不等式的解法,注意应用口诀“小于取中间”.(3)首先对a的符号进行分类讨论,在每一种情况中,如果有必要再按照根的大小进行讨论.【规范解答】(1)选A.不等式f(x)0，即(ax-1)(x+b)0，其解集是(-1，3)，所以解得于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)0即为(2x-1)(-2x-3)0，解得或(2)x2+x-2=(x-1)(x+2)0,解得-2x1,解集为{x|-2x1}.答案:{x|-2x1}a011ab3，，，a1b3，，1x23x.2(3)①当a=0时，原不等式变为-x+10，此时不等式的解集为{x|x1}.②当a≠0时，原不等式可化为若a0，则上式即为又因为所以此时不等式的解集为{x|x1或}.若a0，则上式即为(ⅰ)当即a1时，原不等式的解集为(ⅱ)当即a=1(ⅲ)当即0a1时，原不等式的解集为1ax1(x)0.a1x1(x)0a，11a，1xa1(x1)(x)0.a11a，1{x|x1}a；11a，11a，1{x|1x}.a综上所述，原不等式解集为：当a0时，{x|或x1}；当a=0时，{x|x1}；当0a1时，{x|}；当a=1当a1时，1xa11xa1{x|x1}.a【规律方法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.【变式训练】(1)(2019·绍兴模拟)不等式ax2+bx+c0的解集为(-2,1),则不等式ax2+(a+b)x+c-a0的解集为()(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-3,1)(C)(-1,3)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)33【解析】选D.由题意,∵不等式ax2+bx+c0的解集为(-2,1),∴a0,-2+1=-,(-2)×1=,∴b=a,c=-2a,∴不等式ax2+(a+b)x+c-a0为ax2+2ax-3a0,∴x2+2x-30,∴(x+3)(x-1)0,∴x-3或x1.baca(2)解关于x的不等式(1－ax)2＜1.【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈；当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得即当a＜0时，综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为当a＜0时，不等式解集为22ax(x)0a－＜，20xa＜＜；2x0.a＜＜2{x|0x}a＜＜；2{x|x0}.a＜＜考向2一元二次不等式的恒成立问题(2)已知函数f(x)=x2+ax+3.①当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.②当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.【思路点拨】(1)因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可.(2)①可直接利用判别式Δ≤0求解.②可转化为求f(x)-a在[-2,2]上的最小值,令其最小值大于或等于0即可.(2)①f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0，要使x∈R时，x2+ax+3-a≥0恒成立，应有Δ=a2-4(3-a)≤0，即a2+4a-12≤0，解得-6≤a≤2.②当x∈［-2,2］时，设g(x)=x2+ax+3-a.分以下三种情况讨论：(ⅰ)当即a≥4时，g(x)在［-2,2］上单调递增，g(x)在［-2,2］上的最小值为g(-2)=7-3a，因此a无解；a473a0，，a22，(ⅱ)当即a≤-4时，g(x)在［-2,2］上单调递减，g(x)在［-2,2］上的最小值为g(2)=7+a，因此解得-7≤a≤-4；(ⅲ)即-4a4时，g(x)在［-2,2］上的最小值为因此解得-4a≤2.综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2.a22，a47a0，，a222，2aag()a324，24a4aa304，，【互动探究】本例(2)中，若对一切a∈［-3，3］，不等式f(x)≥a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？【解析】不等式f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0.令g(a)=(x-1)a+x2+3，要使g(a)≥0在［-3,3］上恒成立，只需即解得x≥0或x≤-3.g30g30，，22x3x60x3x0，，【规律方法】恒成立问题的两种解法(1)更换主元法如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键．即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解.(2)分离参数法如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.【加固训练】若函数f(x)=的定义域为R，则实数m的取值范围是()(A)(-∞,)(B)［0,)(C)(,+∞)(D)(-,)【解析】选B.依题意mx2+4mx+3≠0对一切x∈R恒成立.当m=0时显然成立；当m≠0时应有Δ=16m2-12m0，解得综上，实数m的取值范围是343434343430m.430,).4［2x4mx4mx3【易错误区15】分段函数解不等式问题的易错点【典例】(2019·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,①又当x0时，-x0,所以f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-4x(x0),②所以f(x)=22x4xx0x4x0xx00①,.,,,,(1)当x0时，由f(x)x，得x2-4xx，解得x5.(2)当x=0时，f(x)x无解；①(3)当x0时，由f(x)x，得-x2-4xx.②解得-5x0.综上得不等式f(x)x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).答案：(-5,0)∪(5,+∞)【误区警示】1.①处对于x=0时的情况漏掉分析而导致不全面.2.②处利用奇函数求x0的解析式时求解错误.【规避策略】1.利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域，若在0处有定义，则奇函数中必有f(0)=0.2.利用奇偶性解不等式一般需要求解f(x)的解析式，因此要正确利用奇偶性转化求解析式.【类题试解】(2019·四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是.【解析】依据已知条件求出y=f(x),x∈R的解析式,再借助y=f(x)的图象求解.设x0,则-x0.当x≥0时,f(x)=x2-4x,所以f(-x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+4x(x＜0)，故f(x)=由f(x)=5得得x=5或x=-5.观察图象可知由f(x)＜5，得-5＜x＜5.所以由f(x+2)＜5，得-5＜x+2＜5，所以-7＜x＜3.故不等式f(x+2)＜5的解集是{x|-7＜x＜3}.答案：{x|-7＜x＜3}22x4xx0x4xx0，，，＜.22x4x5x4x5x0x0，，或＜，1.(2019·宁波模拟)函数的定义域是()(A)［0,1)(B)［0,1］(C)［0,4)(D)(4,+∞)【解析】选A.依题意有解得所以0≤x1，即函数定义域是［0,1).22fxx3xlg(x5x4)22x3x0x5x40，，0x3x4x1，或，2.(2019·温州模拟)若函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意x∈R恒有f(x)≥0，则f(1)等于()(A)6(B)5(C)4(D)3【解析】选C.依题意得a2-4(-3a-9)≤0,即a2+12a+36≤0，所以(a+6)2≤0,必有a=-6,这时f(x)=x2-6x+9,故f(1)=4，故选C.3.(2019·绍兴模拟)已知函数若f(x)≥1,则x的取值范围是()(A)(-∞,-1］(B)［1,+∞)(C)(-∞,0］∪［1,+∞)(D)(-∞,-1］∪［1,+∞)【解析】选D.当x≤0时，由x2≥1,得x≤-1;当x＞0时，由2x-1≥1,得x≥1.综上可知，x∈(-∞,-1］∪［1,+∞).2x,x0,fx2x1,x0,＞4.(2019·衢州模拟)已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()(A)(2，+∞)(B)(-2,+∞)(C)(-∞,-3)(D)(-∞,-3)∪(2