北邮通信原理第二章-信号分析

1第二章随机信号分析„确知信号的频谱分析„随机变量„随机过程„平稳随机过程及其特点„噪声„随机过程通过系统2.1确知信号的频谱分析„付立叶变换„付氏变换的性质„常用信号的付氏变换„信号的功率谱和能量谱„信号的互相关和自相关„信号通过线性系统2一、付立叶变换„任一信号有两种表示方法：频域表示法)(wF信号的振幅和相位随频率成分的变化：时域表示法)(tf：信号的大小随时间的变化。付立叶变换(续)两种表示法互相对应，记做：)()(wFtf↔。变换式为：dwewFtfjwt∫∞∞−=)(21)(πewFdtetfwFwjjwt)()()()(θ−−∞∞−==∫为模，表示幅度谱；|)(|wF为幅角，表示相位谱。)(wθ3二、付氏变换的性质对偶复共轭脉冲信号速度越高，脉宽越窄，传输时需要频带越宽比例调制可使基带信号移至适当频带传输频移时域内发生延时，频域内幅度谱不变，只发生相移时移信号叠加，频谱叠加线性物理含义频谱函数时间函数性质∑=Nnnntfa1)(∑=NnnnwFa1)()(0ttf±ewFjwt0)(±)(0wwFmetftjw0)(±)(1awFa)(atf)(tF)(2wf−π)(*wF−)(*tf)()(wFtfii↔若付氏变换的性质(续)卷积性质：时延部件时域卷积频域频域例如：RC积分解调电路时域积分频域例如：谐振电路实现微分鉴频时域微分物理含义频谱函数时间函数性质dttfdnn)()(wFjwn)()(tfjtn−dwwFdnn)(∫∞−tdfττ)()()0()(wFjwwFδπ+)()0()(tnfjttfδ+−∫∞−wdxxF)()()(21tftf∗)()(21wFwF)()(21tftf[])()(2121wFwF∗π)()()(tfttf=∗δ)()()(TtfTttf−=−∗δ)(Tt−δ4三、常用信号的付氏变换余弦函数正弦函数2.三角函数周期性冲激串1常数11.冲激函数信号)(tf)(wF)(tδ)(2wπδ∑∞−∞=−nnTt)(δetjw0)(20ww−πδ][21cos000tjwtjweetw−+=)]w(w)w(w[00++−δδπ][21sin000tjwtjweejtw−−=)]w(w)w(w[00+−−δδπj∑∞−∞=−nn)(11δTwπ21=常用信号的付氏变换(续)6.指数函数5.阶越函数4.三角波周期性脉冲串3.门函数(单脉冲)信号)(tf)(wF{0)(AtG=2||2||ττ≤tt)2(ττwSaA∑∞−∞=−nnTtG)(∑∞−∞=−nnwwnwSaAw)()2(111δττTwπ21={||0)(AtAtT+−=τττ≤||||tt)2(2ττwSaA)(tujww1)(+πδeta−222waa+注：抽样函数xxxSasin)(=5四、信号的功率谱和能量谱„功率信号：时间无限的信号，具有无限的能量，但平均功率有限。„能量信号：时间有限的信号，信号能量有限，在全部时间内的平均功率为0。„信号的功率（能量）：电压（电流）f(t)加在单位电阻上消耗的功率（或能量）。信号的瞬时功率（能量）为)(2tf，总功率（能量）为∫∞∞−dttf)(2。功率谱和能量谱(续)„能量信号的能量和能量谱密度∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−=−==dwwFdwwFwFdttfE22|)(|21)()(21)(ππ（实函数时，)(*)(wFwF=−）定义：能量谱密度2|)(|)(wFwE=能量∫∫∞∞−∞∞−==dffEdwwEE)()(21π„时域内按时间累积的总能量=频域内各个频率分量的能量之和„总能量=能量谱密度的积分6功率谱和能量谱(续)„无限非周期信号的平均功率和功率谱密度•用fT(t)代表无限信号f(t)在(-T/2,T/2)上的截短函数，只要T有限，fT(t)就有能量。f(t)OtfT(t)tOT2－T2……功率谱和能量谱(续)„无限非周期信号的平均功率和功率谱密度•fT(t)的能量：∫∫∞∞−∞∞−==dwwFdttfETT22|)(|21)(π•当TÆ∞时，其平均功率为：dwTwFdttfTPTTTTTT2222|)(|21)(1limlim∫∫∞∞−∞→−∞→==π•定义：平均功率∫∫∞∞−∞∞−==dffPdwwPP)()(21πTwFwPTT2|)(|)(lim∞→=功率谱密度7功率谱和能量谱(续)„无限周期信号的平均功率和功率谱密度„信号的功率（能量）谱只与幅度谱有关„周期性信号具有离散谱，而非周期信号具有连续谱功率谱密度∑∞−∞=−=nTnnFP)(||2)(2ωωδπω平均功率∑∫∞−∞=−==nnFdttfTPTT22||)(122Fn为各个频率点的幅度，|Fn|2为nωT分量的平均功率。举例„已知某信号的功率谱密度函数如图所示，求：该信号的平均功率fP(f)-fc0fcB20n8五、信号的互相关和自相关„信号的互相关函数定义„f1(t)和f2(t)为能量信号，其互相关函数为„f1(t)和f2(t)为功率信号，其互相关函数为„若f1(t)和f2(t)为周期为T的周期信号，其互相关函数为∫−∞→+=22)()(1)(2112limTTdtffTtRTτττ∫∞∞−+=τττdtfftR)()()(2112∫−+=22)()(1)(2112TTdtffTtRτττ信号的互相关和自相关（续）„互相关函数性质„若对所有的t，有R12(t)=0，则两个信号互不相关。„t≠0时，R12(t)≠R21(t)，但R12(t)=R21(-t)。„t=0时，R12(0)=R21(0)表示两个信号在无时移时的相关性。R12(0)越大，说明两个信号越相似。9信号的互相关和自相关（续）„若f1(t)=f2(t)=f(t)，则互相关函数变为自相关函数„信号的自相关函数定义„能量信号f(t)的自相关函数为„功率信号f(t)的自相关函数为∫−∞→+=22)()(1)(limTTdtffTtRTτττ∫∞∞−+=τττdtfftR)()()(信号的互相关和自相关（续）„自相关函数性质„R(t)是偶函数，即：R(t)=R(-t)。„R(0)≥|R(t)|。表示无时移时信号自身的相关性最强；而一个信号前后的时移越大，信号的相关性越弱。„对能量信号，R(0)=E；对功率信号，R(0)=P。„自相关函数与谱密度函数互为付立叶变换关系。对能量信号，R(t)↔E(w)；对功率信号，R(t)↔P(w)。10六、信号通过线性系统„以冲激函数δ(t)作为激励，通过系统后的响应h(t)为该系统的传递函数„线性系统——满足叠加定理若激励f1(t)和f2(t)的响应分别是r1(t)和r2(t)，则激励af1(t)+bf2(t)的响应是ar1(t)+br2(t)。输入信号输出信号系统r(t)R(w)h(t)H(w)f(t)F(w)信号通过线性系统(续)„确知信号通过线性系统已知：h(t)=δ(t)*h(t)利用叠加定理：r(t)=f(t)*h(t)利用时域卷积定理：R(ω)=F(ω)H(ω)11信号通过线性系统(续)„无失真传输„失真原因——幅度失真，相位失真„理想无失真传输条件——时域条件：r(t)=Kf(t-t0)——频域条件：H(w)=Ke-jwt0„实际无失真传输条件在有限的、相当大的带宽范围内满足H(w)=Ke-jwt0信号通过线性系统(续)„理想滤波器„理想低通滤波器LPF„理想高通滤波器HPF„理想带通滤波器BPFwF(w)-wm0wmwF(w)-wm0wmwF(w)-wh-wl0wlwh12传输衰减与增益„信号经过系统后，信号变强称为增益„信号经过系统后，信号变弱称为衰减„增益=-衰减„通信系统中一般使用功率增益iiiPII20logVV20logP10logooo===电流增益电压增益功率增益习题1„已知一个调幅波f(t)=A(1+coswmt)cosw0t(w0wm)，求:(1)F(w)的表达式(2)画出f(t)的波形示意图和F(w)的频谱示意图13习题2„已知某低通信号f(t)的频谱F(w)的截止频率为wm，求：F(w)与冲激序列δws(w)的卷积的表达式，并画出频谱示意图。（wswm）wF(w)-wm0wm习题3„某带通信号，其功率谱为：经过一传递函数为的带通滤波器。传递过程中还受到加性白噪声的干扰。求：(1)接受端收到信号的功率谱Po(w)的表达式并画图，(2)接受端收到信号的平均功率Po。⎩⎨⎧≤≤=其他0641)(ooi⎩⎨⎧≤≤=其他091)(oo)/(2)(0HzWnwPn=142.2随机变量一、概念二、统计特性随机变量X，概率密度函数f(x)三、数字特征——数学期望——方差——协方差随机变量X的数学期望„定义„物理意义„表示随机变量的均值Æ直流分量„性质„C是常数，则E(C)=C。„C是常数，则E(C·X)=C·E(X)。„X、Y是任意两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)。„X、Y是两个互相独立的随机变量，则E(X·Y)=E(X)·E(Y)。∫∞∞−=dxxxfXE)()(15随机变量X的方差„定义„物理意义„表示随机变量与均值的偏离程度Æ交流功率„方差一般也用表示，其平方根称为标准方差[]{}[]2222)()()()]([)()(XEXEdxxfXExXExEXD−=−=−=∫∞∞−2XσXσ随机变量X的协方差„定义„物理意义„描述两维随机变量(X,Y)的相互关系„几个概念„独立f(x,y)=f(x)f(y)„不相关COV(X,Y)=0„正交E(XY)=0[][]{})()()()()(),(YEXEYXEYEyXExEYXCOV⋅−⋅=−−=162.3随机过程一、概念二、统计特性一、概念„随机变量„随机过程的一个实现„随机过程随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Snξ(t)tk17二、统计特性„概率分布„数学期望„方差„协方差函数„相关函数1.概率分布„随机过程ξ(t)在任一时刻t1的取值是随机变量，则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某一数值x1的概率为ξ(t)的一维概率分布函数：})({),(11111xtPtxF≤=ξ18概率分布(续)ξ(t)的一维概率密度函数：1111111),(),(xtxFtxf∂∂=})()(,)({),;,(22112121nnnnnxtxtxtPtttxxxF≤≤≤=ξξξLLLnnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf∂∂∂∂=LLLLL2121212121),;,(),;,(ξ(t)的n维概率分布函数和n维概率密度函数分别是：2.数学期望)(),()]([1tadxtxxftE==∫∞∞−ξ物理意义：表示随机过程在某时刻的摆动中心（平均值）193.方差)()]}([)({)]((22ttEtEtDσξξξ=−=物理意义：表示随机过程在某时刻的取值（随机变量）对该时刻的期望的偏离程度4.协方差函数)]}()()][()({[),(221121tattatEttB−−=ξξ物理意义：表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系205.相关函数∫∫∞∞−∞∞−==2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttRξξ物理意义：表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大2.4平稳随机过程及其特点„定义„若随机过程的n维概率分布函数Fn()和n维概率密度函数fn()与时间起点无关，则为平稳随机过程（严平稳）„特点21特点„统计特性与时间起点无关（广义平稳）a(t)Æa;R(t1,t2)ÆR(τ)特点(续)„各态历经性：设x(t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均=x(t)的算术平均∫−∞→==22)(1limTTTdttxTaa∫−∞→+==22)()(1)()(limTTTdttxtxTRRτττ意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，