第一章计数原理及二项式定理复习

排列组合、二项式定理复习课名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点一、两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.例1.书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书,(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法?(2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的选法?(3)若从这些书中取不同科目的书两本,有多少种不同的选法?例2如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（）63种（B）64种（C）6种（D）36种CDBAEF分析:由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报1项），共有种不同的报名方法（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有种可能5445基础练习二、排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质区别mnAmnC(1)(1)mnAnnnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn)!(!!mnmnCmn10nCmmmnnmACAmnnmnCC11mnmnmnCCC从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnAnA先选后排只选不排解排列组合问题遵循的一般原则:1.有序----;无序---2.分类---;分步---3.既有分类又有分步:4.既有排列又有组合:5.先后6.正难7.分类排列组合加法乘法先分类再分步先选后排要不重不漏则反特殊一般常见方法:1.（一般适用于在与不在问题）2.(一般适于相邻问题)3.(一般适于不相邻问题)4.(至多、至少、不都等问题)5.定序捆绑法插空法排除法用除法优限法1.有4名男生，3名女生排成一排•（1）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不同的排法？•（2）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多少不同的排法？•（3）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？•（4）若3名女生互不相邻，则有多少不同的排法？•（5）若男女相间，则有多少不同的排法？•（6）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？•（7）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起，则有多少不同的排法？•（8）如果3名女生不全在一起,有多少种不同的排法?•（9）如果甲在乙左,丙在乙右,顺序固定,有多少种不同的排法?（1）变式：从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_____种不同的摆放方法（用数字作答）。解：14561800AA(2)变式1.（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法（二）间接法（2）变式2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）（A）120种（B）96种（C）78种（D）72种解：4113433378AAAA782334455AAA（9）变式：9个人排成一排，甲、乙、丙顺序一定96993360480ANAA(1)前排三人，中间三人，后排三人；33399639NAAAA(2)前排一人，中间二人，后排六人；点评：分排问题直排处理2.9个人排成一排二、注意区别“恰好”与“至少”例：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）(A)480种（B）240种（C）180种（D）120种解：12116522240CCCC练习：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有____种解：44141262()255CCC三、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”例：七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种(A)960种（B）840种（C）720种（D）600种解：242245960AAA另解：251254960AAA练习1某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311C解：38C练习2某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？练习3一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？练习4：停车场有12个停车位，现有8辆车停放，若要求四个空车位连在一起，则_______种不同的停车方法。四、混合问题，先“组”后“排”例1.对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能576441634ACC例2.从5男4女中选4位代表，其中至少2位男士，且至多2位女士，分到四个不同的工厂调查，不同的分配方法有多少种？练习:某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。带有编号1,2,3,4,5的五个球.（1）全部投入4个不同的盒子里；（2）放进不同的4个盒子里，每盒一个；（3）将其中的4个球投入4个盒子里的一个；（4）全部投入4个不同的盒子里，没有空盒.各有多少种不同的放法？返回目录例3六、分清排列、组合、等分的算法区别例1:(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?解：（1）123109712600CCC（2）12331097375600CCCA(3)336222110642()3150ACCCC)/(332628210ACCC练习.在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有10人，则可能出现的录用情况有____种（用数字作答）。21110872520CCC解法1:解法2:42210422520CCA七、分类组合,隔板处理例:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C小结：把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有种.11mnC练习1.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽取10辆，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有（）A.84B.120C.63D.301练习2.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有（）A.9B.12C.15D.18122rrnnnnnn1+Cx+Cx++Cx++Cxn(1+x)2、一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb1、二项定理:通项公式Tr+1=rrn-rnCab3.一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）02413512nnnnnnnCCCCCC奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：例1、计算：5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)xxxxx一、公式的逆用练1.化简：.1)1(4)1(6)1(4)1(234xxxx7254361677773452773333,3331,ACCCBCCCAB7练2、设则的值为（）A.128B.129C.4D.0练3.等于（）A.B.C.D.nnnnnnCCCC1321242n313n213n123n例1、已知的展开式中第6项为常数项（1）求n（2）求展开式中所有的有理项nxx333二、二项式定理通项公式的应用（一）求二项式的特定项例2、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。(12)nx变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.4167()xy321()nxx2、求的展开式中的系数。64(1)(1)xx3x1.求的展开式中项的系数.2x（二）求多项式的特定项3．在的展开式中x的系数为（）A．160B．240C．360D．8005223xx5、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________4、求展开式中的常数项。5231(3)xxx25431111nxxxx三、求二项展开式的系数和问题例17767610(31)xaxaxaxa例2.已知求展开式中x奇次项的系数和四、余数与整除问题例1例22.1)1nnn例3求证：（能被整除五、近似计算问题例：0.976精确到0.001的近似值为_____．解析：0.976＝(1－0.03)6＝…答案：0.833